Theorem gcdmultiple 15269

Description: The GCD of a multiple of a number is the number itself. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcdmultiple	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)

Proof of Theorem gcdmultiple

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · 1))
2	1	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = (𝑀 gcd (𝑀 · 1)))
3	2	eqeq1d 2624	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · 1)) = 𝑀))
4	3	imbi2d 330	. . 3 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 1)) = 𝑀)))
5		oveq2 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · 𝑛))
6	5	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)))
7	6	eqeq1d 2624	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀))
8	7	imbi2d 330	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀)))
9		oveq2 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · (𝑛 + 1)))
10	9	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))))
11	10	eqeq1d 2624	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀))
12	11	imbi2d 330	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀)))
13		oveq2 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑀 · 𝑘) = (𝑀 · 𝑁))
14	13	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)))
15	14	eqeq1d 2624	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
16	15	imbi2d 330	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑘)) = 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)))
17		nncn 11028	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
18	17	mulid1d 10057	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
19	18	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 1)) = (𝑀 gcd 𝑀))
20		nnz 11399	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
21		gcdid 15248	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 𝑀) = (abs‘𝑀))
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd 𝑀) = (abs‘𝑀))
23		nnre 11027	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
24		nnnn0 11299	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
25	24	nn0ge0d 11354	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
26	23, 25	absidd 14161	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (abs‘𝑀) = 𝑀)
27	22, 26	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd 𝑀) = 𝑀)
28	19, 27	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 1)) = 𝑀)
29	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
30		nnz 11399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
31		zmulcl 11426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑛) ∈ ℤ)
32	20, 30, 31	syl2an 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑛) ∈ ℤ)
33		1z 11407	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
34		gcdaddm 15246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑛) ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = (𝑀 gcd ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀))))
35	33, 34	mp3an1 1411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑛) ∈ ℤ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = (𝑀 gcd ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀))))
36	29, 32, 35	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = (𝑀 gcd ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀))))
37		nncn 11028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
38		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
39		adddi 10025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (𝑀 · 1)))
40	38, 39	mp3an3 1413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (𝑀 · 1)))
41		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 · 1) = (1 · 𝑀))
42	38, 41	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑀 · 1) = (1 · 𝑀))
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑀 · 1) = (1 · 𝑀))
44	43	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑛) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀)))
45	40, 44	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀)))
46	17, 37, 45	syl2an 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑛 + 1)) = ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀)))
47	46	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = (𝑀 gcd ((𝑀 · 𝑛) + (1 · 𝑀))))
48	36, 47	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))))
49	48	eqeq1d 2624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀 ↔ (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀))
50	49	biimpd 219	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀 → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀))
51	50	expcom 451	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀 → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀)))
52	51	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑛)) = 𝑀) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · (𝑛 + 1))) = 𝑀)))
53	4, 8, 12, 16, 28, 52	nnind 11038	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀))
54	53	impcom 446	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  ℕcn 11020  ℤcz 11377  abscabs 13974   gcd cgcd 15216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217

This theorem is referenced by:  gcdmultiplez  15270  rpmulgcd  15275