Theorem nnre 11027

Description: A positive integer is a real number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnre	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssre 11024	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
2	1	sseli 3599	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  ℝcr 9935  ℕcn 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021

This theorem is referenced by:  nnrei  11029  nn2ge  11045  nnge1  11046  nngt1ne1  11047  nnle1eq1  11048  nngt0  11049  nnnlt1  11050  nnnle0  11051  nndivre  11056  nnrecgt0  11058  nnsub  11059  nnunb  11288  arch  11289  nnrecl  11290  bndndx  11291  0mnnnnn0  11325  nnnegz  11380  elnnz  11387  elz2  11394  gtndiv  11454  prime  11458  btwnz  11479  indstr  11756  qre  11793  rpnnen1lem2  11814  rpnnen1lem1  11815  rpnnen1lem3  11816  rpnnen1lem5  11818  rpnnen1lem1OLD  11821  rpnnen1lem3OLD  11822  rpnnen1lem5OLD  11824  nnrp  11842  nnledivrp  11940  qbtwnre  12030  elfzo0le  12511  fzonmapblen  12513  fzo1fzo0n0  12518  ubmelfzo  12532  fzonn0p1p1  12546  elfzom1p1elfzo  12547  ubmelm1fzo  12564  subfzo0  12590  adddivflid  12619  flltdivnn0lt  12634  quoremz  12654  quoremnn0ALT  12656  intfracq  12658  fldiv  12659  modmulnn  12688  m1modnnsub1  12716  addmodid  12718  modifeq2int  12732  modaddmodup  12733  modaddmodlo  12734  modfzo0difsn  12742  modsumfzodifsn  12743  addmodlteq  12745  nnlesq  12968  digit2  12997  digit1  12998  facdiv  13074  facndiv  13075  faclbnd  13077  faclbnd3  13079  faclbnd4lem4  13083  faclbnd5  13085  bcval5  13105  seqcoll  13248  cshwidxmod  13549  cshwidxm1  13553  repswcshw  13558  isercolllem1  14395  harmonic  14591  efaddlem  14823  rpnnen2lem9  14951  rpnnen2lem12  14954  sqrt2irr  14979  nndivdvds  14989  dvdsle  15032  fzm1ndvds  15044  nno  15098  nnoddm1d2  15102  divalg2  15128  divalgmod  15129  divalgmodOLD  15130  ndvdsadd  15134  modgcd  15253  gcdmultiple  15269  gcdmultiplez  15270  gcdzeq  15271  sqgcd  15278  dvdssqlem  15279  lcmgcdlem  15319  lcmf  15346  coprmgcdb  15362  qredeq  15371  qredeu  15372  isprm3  15396  prmdvdsfz  15417  isprm5  15419  ncoprmlnprm  15436  divdenle  15457  phibndlem  15475  eulerthlem2  15487  hashgcdlem  15493  oddprm  15515  pythagtriplem10  15525  pythagtriplem12  15531  pythagtriplem14  15533  pythagtriplem16  15535  pythagtriplem19  15538  pclem  15543  pc2dvds  15583  pcmpt  15596  fldivp1  15601  pcbc  15604  infpnlem1  15614  infpn2  15617  prmreclem1  15620  prmreclem3  15622  vdwlem3  15687  ram0  15726  prmgaplem4  15758  prmgaplem7  15761  cshwshashlem1  15802  cshwshashlem2  15803  setsstruct2  15896  setsstructOLD  15899  mulgnegnn  17551  mulgmodid  17581  odmodnn0  17959  gexdvds  17999  sylow3lem6  18047  prmirredlem  19841  znidomb  19910  chfacfisf  20659  chfacfisfcpmat  20660  chfacffsupp  20661  chfacfscmul0  20663  chfacfpmmul0  20667  ovolunlem1a  23264  ovoliunlem2  23271  ovolicc2lem3  23287  ovolicc2lem4  23288  iundisj2  23317  dyadss  23362  volsup2  23373  volivth  23375  vitali  23382  ismbf3d  23421  mbfi1fseqlem3  23484  mbfi1fseqlem4  23485  mbfi1fseqlem5  23486  itg2seq  23509  itg2gt0  23527  itg2cnlem1  23528  plyeq0lem  23966  dgreq0  24021  dgrcolem2  24030  elqaalem2  24075  elqaalem3  24076  logtayllem  24405  leibpi  24669  birthdaylem3  24680  zetacvg  24741  eldmgm  24748  basellem1  24807  basellem2  24808  basellem3  24809  basellem6  24812  basellem9  24815  prmorcht  24904  dvdsflsumcom  24914  muinv  24919  vmalelog  24930  chtublem  24936  logfac2  24942  logfaclbnd  24947  pcbcctr  25001  bcmono  25002  bposlem1  25009  bposlem5  25013  bposlem6  25014  bpos  25018  lgsval4a  25044  gausslemma2dlem0c  25083  gausslemma2dlem0d  25084  gausslemma2dlem1a  25090  gausslemma2dlem2  25092  gausslemma2dlem3  25093  gausslemma2dlem5  25096  lgsquadlem1  25105  lgsquadlem2  25106  2lgslem1a1  25114  dchrisum0re  25202  dchrisum0lem1  25205  logdivbnd  25245  ostth2lem1  25307  ostth2lem3  25324  pthdlem2lem  26663  crctcshwlkn0lem1  26702  crctcshwlkn0lem3  26704  crctcshwlkn0lem4  26705  crctcshwlkn0lem5  26706  crctcshwlkn0lem6  26707  crctcshwlkn0lem7  26708  crctcshwlkn0  26713  clwwlksel  26914  clwwlksf  26915  clwwlksf1  26917  wwlksext2clwwlk  26924  wwlksubclwwlks  26925  clwwisshclwwslem  26927  eucrctshift  27103  eucrct2eupth  27105  numclwlk2lem2f  27236  nmounbseqi  27632  nmounbseqiALT  27633  nmobndseqi  27634  nmobndseqiALT  27635  ubthlem1  27726  minvecolem3  27732  lnconi  28892  iundisj2f  29403  nnmulge  29515  xrsmulgzz  29678  esumpmono  30141  eulerpartlemb  30430  fibp1  30463  subfaclim  31170  subfacval3  31171  snmlff  31311  fz0n  31616  bcprod  31624  nn0prpwlem  32317  nn0prpw  32318  nndivsub  32456  nndivlub  32457  knoppcnlem2  32484  knoppcnlem4  32486  knoppcnlem10  32492  knoppndvlem11  32513  knoppndvlem12  32514  knoppndvlem14  32516  poimirlem13  33422  poimirlem14  33423  poimirlem31  33440  poimirlem32  33441  mblfinlem2  33447  fzmul  33537  incsequz  33544  nnubfi  33546  nninfnub  33547  irrapxlem1  37386  irrapxlem2  37387  pellexlem1  37393  pellexlem5  37397  pellqrex  37443  monotoddzzfi  37507  jm2.24nn  37526  congabseq  37541  acongrep  37547  acongeq  37550  expdiophlem1  37588  idomrootle  37773  idomodle  37774  relexpmulnn  38001  prmunb2  38510  hashnzfzclim  38521  fmuldfeq  39815  sumnnodd  39862  stoweidlem14  40231  stoweidlem17  40234  stoweidlem20  40237  stoweidlem49  40266  stoweidlem60  40277  wallispilem3  40284  wallispilem4  40285  wallispilem5  40286  wallispi  40287  wallispi2lem1  40288  wallispi2lem2  40289  stirlinglem1  40291  stirlinglem3  40293  stirlinglem4  40294  stirlinglem6  40296  stirlinglem7  40297  stirlinglem10  40300  stirlinglem11  40301  stirlinglem12  40302  stirlinglem13  40303  stirlingr  40307  dirker2re  40309  dirkerval2  40311  dirkerre  40312  dirkertrigeqlem1  40315  fourierdlem66  40389  fourierdlem73  40396  fourierdlem83  40406  fourierdlem87  40410  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem111  40434  fouriersw  40448  etransclem24  40475  sge0rpcpnf  40638  hoicvr  40762  hoicvrrex  40770  vonioolem2  40895  vonicclem2  40898  subsubelfzo0  41336  fmtnodvds  41456  2pwp1prm  41503  lighneallem2  41523  nn0oALTV  41607  nnsum4primes4  41677  nnsum4primesprm  41679  nnsum4primesgbe  41681  nnsum4primesle9  41683  bgoldbachlt  41701  tgoldbach  41705  bgoldbachltOLD  41707  tgoldbachOLD  41712  altgsumbcALT  42131  modn0mul  42315  m1modmmod  42316  difmodm1lt  42317  nnlog2ge0lt1  42360  logbpw2m1  42361  blennn  42369  blennnelnn  42370  nnpw2pmod  42377  nnolog2flm1  42384  digvalnn0  42393  dignn0fr  42395  dignn0ldlem  42396  dignnld  42397  dig2nn1st  42399