Theorem ip2i 27683

Description: Equation 6.48 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 26-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ip2i.8	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ip2i.9	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ip2i	⊢ ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))

Proof of Theorem ip2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip1i.9	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
2	1	phnvi 27671	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3		ip2i.8	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
4		ip1i.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5		ip1i.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
6	4, 5	nvgcl 27475	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋)
7	2, 3, 3, 6	mp3an 1424	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋
8		ip2i.9	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
9		ip1i.7	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
10	4, 9	dipcl 27567	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
11	2, 7, 8, 10	mp3an 1424	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ
12	11	addid1i 10223	. . 3 ⊢ (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + 0) = ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵)
13		ip1i.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
14		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
15	4, 5, 13, 14	nvrinv 27506	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈))
16	2, 3, 15	mp2an 708	. . . . . 6 ⊢ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (0vec‘𝑈)
17	16	oveq1i 6660	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵)
18	4, 14, 9	dip0l 27573	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0)
19	2, 8, 18	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ ((0vec‘𝑈)𝑃𝐵) = 0
20	17, 19	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵) = 0
21	20	oveq2i 6661	. . 3 ⊢ (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵)) = (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + 0)
22		df-2 11079	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
23	22	oveq1i 6660	. . . . 5 ⊢ (2𝑆𝐴) = ((1 + 1)𝑆𝐴)
24		ax-1cn 9994	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	24, 24, 3	3pm3.2i 1239	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
26	4, 5, 13	nvdir 27486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((1 + 1)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)))
27	2, 25, 26	mp2an 708	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1)𝑆𝐴) = ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴))
28	4, 13	nvsid 27482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
29	2, 3, 28	mp2an 708	. . . . . . 7 ⊢ (1𝑆𝐴) = 𝐴
30	29, 29	oveq12i 6662	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑆𝐴)𝐺(1𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺𝐴)
31	27, 30	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1)𝑆𝐴) = (𝐴𝐺𝐴)
32	23, 31	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ (2𝑆𝐴) = (𝐴𝐺𝐴)
33	32	oveq1i 6660	. . 3 ⊢ ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵)
34	12, 21, 33	3eqtr4ri 2655	. 2 ⊢ ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵))
35	4, 5, 13, 9, 1, 3, 3, 8	ip1i 27682	. 2 ⊢ (((𝐴𝐺𝐴)𝑃𝐵) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐴))𝑃𝐵)) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))
36	34, 35	eqtri 2644	1 ⊢ ((2𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (2 · (𝐴𝑃𝐵))

Syntax hints:   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  -cneg 10267  2c2 11070  NrmCVeccnv 27439   +_𝑣 cpv 27440  BaseSetcba 27441   ·_𝑠OLD cns 27442  0_veccn0v 27443  ·_𝑖OLDcdip 27555  CPreHil_OLDccphlo 27667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-dip 27556  df-ph 27668

This theorem is referenced by:  ipdirilem  27684