Theorem lfgrwlknloop 26586

Description: In a loop-free graph, each walk has no loops! (Contributed by AV, 2-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfgrwlkprop.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfgriswlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lfgrwlknloop	⊢ ((𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼,𝑥   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrwlknloop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkv 26508	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2		lfgrwlkprop.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		lfgriswlk.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	2, 3	lfgriswlk 26585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
5		simpl 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
6	5	ralimi 2952	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
7	6	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
8	4, 7	syl6bi 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
9	8	ex 450	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
10	9	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
11	10	3ad2ant1 1082	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
12	1, 11	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
13	12	impcom 446	1 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  {crab 2916  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  𝒫 cpw 4158  {cpr 4179   class class class wbr 4653  dom cdm 5114  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   ≤ cle 10075  2c2 11070  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Walkscwlks 26492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-wlks 26495

This theorem is referenced by:  lfgrn1cycl  26697