Theorem lfgrn1cycl 26697

Description: In a loop-free graph there are no cycles with length 1 (consisting of one edge). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfgrn1cycl.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfgrn1cycl.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lfgrn1cycl	⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ≠ 1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrn1cycl

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cyclprop 26688	. . 3 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
2		cycliswlk 26693	. . 3 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3		lfgrn1cycl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4		lfgrn1cycl.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	3, 4	lfgrwlknloop 26586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
6		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝐹) = 1 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
8	6, 7	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝐹) = 1 → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
9		lbfzo0 12507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐹) ∈ ℕ)
10	8, 9	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝐹) = 1 → 0 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
11		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
12		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
13		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 + 1) = 1
14	12, 13	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = 1)
15	14	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
16	11, 15	neeq12d 2855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
17	16	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
18	10, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐹) = 1 → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
19	18	impcom 446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) = 1) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
20		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝐹) = 1 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘1))
21	20	neeq2d 2854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) = 1) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
23	19, 22	mpbird 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) = 1) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))
24	23	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((#‘𝐹) = 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))))
25	24	necon2d 2817	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ≠ 1))
26	5, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ≠ 1))
27	26	ex 450	. . . . 5 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ≠ 1)))
28	27	com13 88	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} → (#‘𝐹) ≠ 1)))
29	28	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} → (#‘𝐹) ≠ 1)))
30	1, 2, 29	sylc 65	. 2 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} → (#‘𝐹) ≠ 1))
31	30	com12 32	1 ⊢ (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ≠ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  {crab 2916  𝒫 cpw 4158   class class class wbr 4653  dom cdm 5114  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   ≤ cle 10075  ℕcn 11020  2c2 11070  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Walkscwlks 26492  Pathscpths 26608  Cyclesccycls 26680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-wlks 26495  df-trls 26589  df-pths 26612  df-cycls 26682

This theorem is referenced by:  umgrn1cycl  26699