Theorem lspsncv0 19146

Description: The span of a singleton covers the zero subspace, using Definition 3.2.18 of [PtakPulmannova] p. 68 for "covers".) (Contributed by NM, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsncv0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsncv0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsncv0.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsncv0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsncv0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspsncv0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsncv0.e	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lspsncv0	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))

Distinct variable group:   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑦)   𝑊(𝑦)   𝑋(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem lspsncv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pss 3590	. . . . 5 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑦 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦))
2		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ (({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦) → { 0 } ≠ 𝑦)
3		nesym 2850	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = { 0 })
4	2, 3	sylib 208	. . . . 5 ⊢ (({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦) → ¬ 𝑦 = { 0 })
5	1, 4	sylbi 207	. . . 4 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 = { 0 })
6		lspsncv0.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑊 ∈ LVec)
8		simplr 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑦 ∈ 𝑆)
9		lspsncv0.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
12		lspsncv0.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		lspsncv0.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
14		lspsncv0.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
15		lspsncv0.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
16	12, 13, 14, 15	lspsnat 19145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑦 = { 0 }))
17	7, 8, 10, 11, 16	syl31anc 1329	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑦 = { 0 }))
18	17	orcomd 403	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = { 0 } ∨ 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
19	18	ord 392	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑦 = { 0 } → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
20	19	ex 450	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → (¬ 𝑦 = { 0 } → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋}))))
21	20	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑦 = { 0 } → (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋}))))
22		npss 3717	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋}) ↔ (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
23	21, 22	syl6ibr 242	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑦 = { 0 } → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
24	5, 23	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
25	24	ralrimiva 2966	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
26		ralinexa 2997	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})) ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
27	25, 26	sylib 208	1 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574   ⊊ wpss 3575  {csn 4177  ‘cfv 5888  Basecbs 15857  0_gc0g 16100  LSubSpclss 18932  LSpanclspn 18971  LVecclvec 19102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103

This theorem is referenced by:  lsatcv0  34318