Theorem lvecvscan 19111

Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan 27929 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecmulcan.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecmulcan.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecmulcan.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecmulcan.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecmulcan.o	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
lvecmulcan.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecmulcan.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecmulcan.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecmulcan.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lvecmulcan.n	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lvecvscan	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem lvecvscan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecmulcan.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )
2		df-ne 2795	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0 )
3		biorf 420	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = 0 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊))))
4	2, 3	sylbi 207	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊))))
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊))))
6		lvecmulcan.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lveclmod 19106	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
9		lvecmulcan.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lvecmulcan.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11		lvecmulcan.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
12		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
13		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
14	11, 12, 13	lmodsubeq0 18922	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊) ↔ 𝑋 = 𝑌))
15	8, 9, 10, 14	syl3anc 1326	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊) ↔ 𝑋 = 𝑌))
16		lvecmulcan.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		lvecmulcan.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
18		lvecmulcan.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
19		lvecmulcan.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
20	11, 16, 17, 18, 13, 8, 19, 9, 10	lmodsubdi 18920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋(-g‘𝑊)𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐴 · 𝑌)))
21	20	eqeq1d 2624	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝑋(-g‘𝑊)𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ ((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐴 · 𝑌)) = (0g‘𝑊)))
22		lvecmulcan.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
23	11, 13	lmodvsubcl 18908	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
24	8, 9, 10, 23	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
25	11, 16, 17, 18, 22, 12, 6, 19, 24	lvecvs0or 19108	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝑋(-g‘𝑊)𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊))))
26	11, 17, 16, 18	lmodvscl 18880	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
27	8, 19, 9, 26	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
28	11, 17, 16, 18	lmodvscl 18880	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
29	8, 19, 10, 28	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
30	11, 12, 13	lmodsubeq0 18922	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐴 · 𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌)))
31	8, 27, 29, 30	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐴 · 𝑌)) = (0g‘𝑊) ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌)))
32	21, 25, 31	3bitr3d 298	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 = 0 ∨ (𝑋(-g‘𝑊)𝑌) = (0g‘𝑊)) ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌)))
33	5, 15, 32	3bitr3rd 299	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐴 · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   ·_𝑠 cvsca 15945  0_gc0g 16100  -_gcsg 17424  LModclmod 18863  LVecclvec 19102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lvec 19103

This theorem is referenced by: (None)