Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | metcn.2 |
. . 3
⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶) |
2 | | metcn.4 |
. . 3
⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷) |
3 | 1, 2 | metcnpi2 22350 |
. 2
⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) →
∃𝑧 ∈
ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴)) |
4 | | rphalfcl 11858 |
. . . 4
⊢ (𝑧 ∈ ℝ+
→ (𝑧 / 2) ∈
ℝ+) |
5 | 4 | ad2antrl 764 |
. . 3
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑦 ∈
𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴))) → (𝑧 / 2) ∈
ℝ+) |
6 | | simplll 798 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋)) |
7 | | simprr 796 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝑋) |
8 | | simplrl 800 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) |
9 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ∪ 𝐽 =
∪ 𝐽 |
10 | 9 | cnprcl 21049 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) |
11 | 8, 10 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) |
12 | 1 | mopnuni 22246 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽) |
13 | 6, 12 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑋 = ∪ 𝐽) |
14 | 11, 13 | eleqtrrd 2704 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝑋) |
15 | | xmetcl 22136 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑦𝐶𝑃) ∈
ℝ*) |
16 | 6, 7, 14, 15 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦𝐶𝑃) ∈
ℝ*) |
17 | 4 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧 / 2) ∈
ℝ+) |
18 | 17 | rpxrd 11873 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧 / 2) ∈
ℝ*) |
19 | | rpxr 11840 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 ∈ ℝ+
→ 𝑧 ∈
ℝ*) |
20 | 19 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑧 ∈ ℝ*) |
21 | | rphalflt 11860 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 ∈ ℝ+
→ (𝑧 / 2) < 𝑧) |
22 | 21 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑧 / 2) < 𝑧) |
23 | | xrlelttr 11987 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ*
∧ 𝑧 ∈
ℝ*) → (((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) ∧ (𝑧 / 2) < 𝑧) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧)) |
24 | 23 | expcomd 454 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ*
∧ 𝑧 ∈
ℝ*) → ((𝑧 / 2) < 𝑧 → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧))) |
25 | 24 | imp 445 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑦𝐶𝑃) ∈ ℝ* ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ*
∧ 𝑧 ∈
ℝ*) ∧ (𝑧 / 2) < 𝑧) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧)) |
26 | 16, 18, 20, 22, 25 | syl31anc 1329 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → (𝑦𝐶𝑃) < 𝑧)) |
27 | | simpllr 799 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) |
28 | 1 | mopntopon 22244 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) |
29 | 6, 28 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) |
30 | 2 | mopntopon 22244 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) |
31 | 27, 30 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) |
32 | | cnpf2 21054 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌) |
33 | 29, 31, 8, 32 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌) |
34 | 33, 7 | ffvelrnd 6360 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑌) |
35 | 33, 14 | ffvelrnd 6360 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑌) |
36 | | xmetcl 22136 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ 𝑌 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑌) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ∈
ℝ*) |
37 | 27, 34, 35, 36 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ∈
ℝ*) |
38 | | simplrr 801 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈
ℝ+) |
39 | 38 | rpxrd 11873 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈
ℝ*) |
40 | | xrltle 11982 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*)
→ (((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴)) |
41 | 37, 39, 40 | syl2anc 693 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴)) |
42 | 26, 41 | imim12d 81 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))) |
43 | 42 | anassrs 680 |
. . . . 5
⊢
(((((𝐶 ∈
(∞Met‘𝑋) ∧
𝐷 ∈
(∞Met‘𝑌)) ∧
(𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)
∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))) |
44 | 43 | ralimdva 2962 |
. . . 4
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)
→ (∀𝑦 ∈
𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))) |
45 | 44 | impr 649 |
. . 3
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑦 ∈
𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴)) |
46 | | breq2 4657 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = (𝑧 / 2) → ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 ↔ (𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2))) |
47 | 46 | imbi1d 331 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = (𝑧 / 2) → (((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴) ↔ ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))) |
48 | 47 | ralbidv 2986 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = (𝑧 / 2) → (∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴))) |
49 | 48 | rspcev 3309 |
. . 3
⊢ (((𝑧 / 2) ∈ ℝ+
∧ ∀𝑦 ∈
𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ (𝑧 / 2) → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴)) |
50 | 5, 45, 49 | syl2anc 693 |
. 2
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑦 ∈
𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) < 𝐴))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴)) |
51 | 3, 50 | rexlimddv 3035 |
1
⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+)) →
∃𝑥 ∈
ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑦𝐶𝑃) ≤ 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)𝐷(𝐹‘𝑃)) ≤ 𝐴)) |