Theorem rphalfcl 11858

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 11837	. 2 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpdivcl 11856	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	mpan2 707	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650   / cdiv 10684  2c2 11070  ℝ⁺crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  rphalfcld  11884  rpltrp  12171  cau3lem  14094  2clim  14303  addcn2  14324  mulcn2  14326  climcau  14401  metcnpi3  22351  ngptgp  22440  iccntr  22624  reconnlem2  22630  opnreen  22634  xmetdcn2  22640  cnllycmp  22755  iscfil3  23071  cfilfcls  23072  iscmet3lem3  23088  iscmet3lem1  23089  iscmet3lem2  23090  iscmet3  23091  lmcau  23111  bcthlem5  23125  ivthlem2  23221  uniioombl  23357  dvcnvre  23782  aaliou  24093  ulmcaulem  24148  ulmcau  24149  ulmcn  24153  ulmdvlem3  24156  tanregt0  24285  argregt0  24356  argrege0  24357  logimul  24360  resqrtcn  24490  asin1  24621  reasinsin  24623  atanbnd  24653  atan1  24655  sqrtlim  24699  basellem4  24810  chpchtlim  25168  mulog2sumlem2  25224  pntlem3  25298  vacn  27549  ubthlem1  27726  nmcexi  28885  poimirlem29  33438  heicant  33444  ftc1anclem6  33490  ftc1anclem7  33491  ftc1anc  33493  heibor1lem  33608  heiborlem8  33617  bfplem2  33622  supxrge  39554  suplesup  39555  infleinflem1  39586  infleinf  39588  addlimc  39880  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  sge0xaddlem2  40651  smflimlem4  40982