Theorem blocnilem 27659

Description: Lemma for blocni 27660 and lnocni 27661. If a linear operator is continuous at any point, it is bounded. (Contributed by NM, 17-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blocni.8	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blocni.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blocni.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
blocni.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
blocni.4	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
blocni.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blocni.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
blocni.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
blocni.l	⊢ 𝑇 ∈ 𝐿
blocnilem.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
blocnilem	⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝑇 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem blocnilem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blocni.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		blocnilem.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		blocni.8	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
4	2, 3	imsxmet 27547	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋)
6		blocni.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
7		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
8		blocni.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
9	7, 8	imsxmet 27547	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊)))
10	6, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))
11		1rp 11836	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
12		blocni.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
13		blocni.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
14	12, 13	metcnpi3 22351	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))) ∧ (𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 1 ∈ ℝ+)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1))
15	11, 14	mpanr2 720	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘(BaseSet‘𝑊))) ∧ 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1))
16	5, 10, 15	mpanl12 718	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1))
17		rpreccl 11857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
18	17	rpred 11872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
19	18	ad2antlr 763	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
20		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
21		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
22	2, 20, 21, 3	imsdval 27541	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑃) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)))
23	1, 22	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑃) = ((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)))
24	23	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 ↔ ((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦))
25		blocni.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑇 ∈ 𝐿
26		blocni.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
27	2, 7, 26	lnof 27610	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
28	1, 6, 25, 27	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)
29	28	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝑇‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊))
30	28	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑇‘𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊))
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑊) = ( −𝑣 ‘𝑊)
32		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
33	7, 31, 32, 8	imsdval 27541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇‘𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑥)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑃))))
34	6, 33	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇‘𝑃) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑥)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑃))))
35	29, 30, 34	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑥)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑃))))
36	1, 6, 25	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿)
37	2, 20, 31, 26	lnosub 27614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = ((𝑇‘𝑥)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑃)))
38	36, 37	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = ((𝑇‘𝑥)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑃)))
39	38	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑇‘𝑥)( −𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝑃))))
40	35, 39	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))))
41	40	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1 ↔ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1))
42	24, 41	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1) ↔ (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
43	42	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1) ↔ (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
44	43	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1) ↔ (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
45	44	ralbidva 2985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
46		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (0vec‘𝑈) → (𝑇‘𝑧) = (𝑇‘(0vec‘𝑈)))
47	46	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (0vec‘𝑈) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))))
48		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (0vec‘𝑈) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) = ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)))
49	48	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (0vec‘𝑈) → ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) = ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈))))
50	47, 49	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (0vec‘𝑈) → (((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ↔ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)))))
51	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
52		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → 𝑃 ∈ 𝑋)
53		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
54	2, 21	nvcl 27516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
55	1, 54	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
57		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
58	2, 57, 21	nvgt0 27529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑧 ≠ (0vec‘𝑈) ↔ 0 < ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
59	1, 58	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → (𝑧 ≠ (0vec‘𝑈) ↔ 0 < ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
60	59	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈)) → 0 < ((normCV‘𝑈)‘𝑧))
61	56, 60	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ+)
62		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ+) → (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ+)
63	53, 61, 62	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ+)
64	63	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ∈ ℂ)
65		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → 𝑧 ∈ 𝑋)
66		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
67	2, 66	nvscl 27481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
68	51, 64, 65, 67	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋)
69		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
70	2, 69, 20	nvpncan2 27508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋) → ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃) = ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))
71	51, 52, 68, 70	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃) = ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))
72	71	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((normCV‘𝑈)‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = ((normCV‘𝑈)‘((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)))
73	63	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
74	2, 66, 21	nvsge0 27519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((normCV‘𝑈)‘((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
75	51, 73, 65, 74	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((normCV‘𝑈)‘((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
76		rpcn 11841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℂ)
77	76	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → 𝑦 ∈ ℂ)
78	55	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ)
79	78	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ)
80	2, 57, 21	nvz 27524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((normCV‘𝑈)‘𝑧) = 0 ↔ 𝑧 = (0vec‘𝑈)))
81	1, 80	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → (((normCV‘𝑈)‘𝑧) = 0 ↔ 𝑧 = (0vec‘𝑈)))
82	81	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈)))
83	82	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≠ 0)
84	83	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≠ 0)
85	77, 79, 84	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) = 𝑦)
86	72, 75, 85	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((normCV‘𝑈)‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = 𝑦)
87		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
88	87	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ≤ 𝑦)
89	88	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → 𝑦 ≤ 𝑦)
90	86, 89	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((normCV‘𝑈)‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦)
91	2, 69	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧) ∈ 𝑋) → (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) ∈ 𝑋)
92	51, 52, 68, 91	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) ∈ 𝑋)
93		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) → (𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃) = ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))
94	93	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) → ((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = ((normCV‘𝑈)‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)))
95	94	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) → (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 ↔ ((normCV‘𝑈)‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦))
96	93	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) → (𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = (𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)))
97	96	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) = ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))))
98	97	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) → (((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1 ↔ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1))
99	95, 98	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) → ((((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1) ↔ (((normCV‘𝑈)‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
100	99	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1) → (((normCV‘𝑈)‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
101	92, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1) → (((normCV‘𝑈)‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1)))
102	90, 101	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1))
103	28	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → (𝑇‘𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑊))
104	7, 32	nvcl 27516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
105	6, 103, 104	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑋 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
106	105	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ∈ ℝ)
107		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → 1 ∈ ℝ)
108	106, 107, 63	lemuldiv2d 11922	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) · ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧))) ≤ 1 ↔ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ (1 / (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))))
109	71	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = (𝑇‘((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)))
110		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
111	2, 66, 110, 26	lnomul 27615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑧)))
112	36, 111	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑇‘((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑧)))
113	64, 65, 112	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (𝑇‘((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧)) = ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑧)))
114	109, 113	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) = ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑧)))
115	114	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) = ((normCV‘𝑊)‘((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑧))))
116	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
117	103	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (𝑇‘𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑊))
118	7, 110, 32	nvsge0 27519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))) ∧ (𝑇‘𝑧) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((normCV‘𝑊)‘((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑧))) = ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) · ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧))))
119	116, 73, 117, 118	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((normCV‘𝑊)‘((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝑧))) = ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) · ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧))))
120	115, 119	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) = ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) · ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧))))
121	120	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1 ↔ ((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) · ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧))) ≤ 1))
122		rpcnne0 11850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
123		rpcnne0 11850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ+ → (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≠ 0))
124		recdiv 10731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ (((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℂ ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ≠ 0)) → (1 / (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))) = (((normCV‘𝑈)‘𝑧) / 𝑦))
125	122, 123, 124	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ ((normCV‘𝑈)‘𝑧) ∈ ℝ+) → (1 / (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))) = (((normCV‘𝑈)‘𝑧) / 𝑦))
126	53, 61, 125	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (1 / (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))) = (((normCV‘𝑈)‘𝑧) / 𝑦))
127		rpne0 11848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ≠ 0)
128	127	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → 𝑦 ≠ 0)
129	79, 77, 128	divrec2d 10805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (((normCV‘𝑈)‘𝑧) / 𝑦) = ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
130	126, 129	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) = (1 / (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
131	130	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ↔ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ (1 / (𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))))
132	108, 121, 131	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘((𝑃( +𝑣 ‘𝑈)((𝑦 / ((normCV‘𝑈)‘𝑧))( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝑧))( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1 ↔ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
133	102, 132	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈))) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
134	133	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
135	134	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
136	135	an32s 846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1)) ∧ 𝑧 ≠ (0vec‘𝑈)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
137		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
138	2, 7, 57, 137, 26	lno0 27611	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘(0vec‘𝑈)) = (0vec‘𝑊))
139	1, 6, 25, 138	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑇‘(0vec‘𝑈)) = (0vec‘𝑊)
140	139	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = ((normCV‘𝑊)‘(0vec‘𝑊))
141	137, 32	nvz0 27523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑊)‘(0vec‘𝑊)) = 0)
142	6, 141	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((normCV‘𝑊)‘(0vec‘𝑊)) = 0
143	140, 142	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) = 0
144		0le0 11110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 0
145	143, 144	eqbrtri 4674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ 0
146	17	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
147	57, 21	nvz0 27523	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)) = 0)
148	1, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈)) = 0
149	148	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈))) = ((1 / 𝑦) · 0)
150		mul01 10215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 / 𝑦) ∈ ℂ → ((1 / 𝑦) · 0) = 0)
151	149, 150	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 / 𝑦) ∈ ℂ → ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈))) = 0)
152	146, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈))) = 0)
153	145, 152	syl5breqr 4691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈))))
154	153	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(0vec‘𝑈))) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘(0vec‘𝑈))))
155	50, 136, 154	pm2.61ne 2879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1)) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
156	155	ex 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
157	156	ralrimdva 2969	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (((normCV‘𝑈)‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃)) ≤ 𝑦 → ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘(𝑥( −𝑣 ‘𝑈)𝑃))) ≤ 1) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
158	45, 157	sylbid 230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
159	158	imp 445	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1)) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
160		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (𝑥 · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) = ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
161	160	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ↔ ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
162	161	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1 / 𝑦) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
163	162	rspcev 3309	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 𝑦) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ ((1 / 𝑦) · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
164	19, 159, 163	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
165	164	ex 450	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
166	165	rexlimdva 3031	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑃) ≤ 𝑦 → ((𝑇‘𝑥)𝐷(𝑇‘𝑃)) ≤ 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
167	16, 166	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑋 → (𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
168	167	imp 445	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
169		blocni.5	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
170	2, 21, 32, 26, 169, 1, 6	isblo3i 27656	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ (𝑇 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV‘𝑈)‘𝑧))))
171	25, 170	mpbiran 953	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((normCV‘𝑊)‘(𝑇‘𝑧)) ≤ (𝑥 · ((normCV‘𝑈)‘𝑧)))
172	168, 171	sylibr 224	1 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑇 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃)) → 𝑇 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   class class class wbr 4653  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   / cdiv 10684  ℝ⁺crp 11832  ∞Metcxmt 19731  MetOpencmopn 19736   CnP ccnp 21029  NrmCVeccnv 27439   +_𝑣 cpv 27440  BaseSetcba 27441   ·_𝑠OLD cns 27442  0_veccn0v 27443   −_𝑣 cnsb 27444  norm_CVcnmcv 27445  IndMetcims 27446   LnOp clno 27595   BLnOp cblo 27597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cnp 21032  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-lno 27599  df-nmoo 27600  df-blo 27601  df-0o 27602

This theorem is referenced by:  blocni  27660  lnocni  27661