Theorem minmar1marrep 20456

Description: The minor matrix is a special case of a matrix with a replaced row. (Contributed by AV, 12-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
minmar1marrep.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
minmar1marrep.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
minmar1marrep.q	⊢ 𝑄 = (𝑁 matRRep 𝑅)
minmar1marrep.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
minmar1marrep	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅) 1 ))

Proof of Theorem minmar1marrep

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minmar1marrep.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		minmar1marrep.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (𝑁 minMatR1 𝑅) = (𝑁 minMatR1 𝑅)
4		minmar1marrep.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
5		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	1, 2, 3, 4, 5	minmar1val0 20453	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, if(𝑗 = 𝑙, 1 , (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
7	6	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, if(𝑗 = 𝑙, 1 , (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
8		simpr 477	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ 𝐵)
9		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	9, 4	ringidcl 18568	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
11	10	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
12		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (𝑁 matRRep 𝑅) = (𝑁 matRRep 𝑅)
13	1, 2, 12, 5	marrepval0 20367	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅) 1 ) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, if(𝑗 = 𝑙, 1 , (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
14	8, 11, 13	syl2anc 693	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅) 1 ) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, if(𝑗 = 𝑙, 1 , (0g‘𝑅)), (𝑖𝑀𝑗)))))
15	7, 14	eqtr4d 2659	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅) 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ifcif 4086  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  Basecbs 15857  0_gc0g 16100  1_rcur 18501  Ringcrg 18547   Mat cmat 20213   matRRep cmarrep 20362   minMatR1 cminmar1 20439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-mat 20214  df-marrep 20364  df-minmar1 20441

This theorem is referenced by:  minmar1cl  20457  smadiadetglem1  20477  submatminr1  29876