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Theorem nrmmetd 22379

Description: Show that a group norm generates a metric. Part of Definition 2.2-1 of [Kreyszig] p. 58. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
nrmmetd.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nrmmetd.m	⊢ − = (-_g‘𝐺)
nrmmetd.z	⊢ 0 = (0_g‘𝐺)
nrmmetd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
nrmmetd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
nrmmetd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
nrmmetd.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))

**Assertion**
Ref	Expression
nrmmetd	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦, − 𝑥, 0 ,𝑦 𝑥,𝐹,𝑦 𝜑,𝑥,𝑦 𝑥,𝑋,𝑦 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nrmmetd Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrmmetd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
2		nrmmetd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		nrmmetd.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		nrmmetd.m	. . . . 5 ⊢ − = (-_g‘𝐺)
5	3, 4	grpsubf 17494	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
7		fco 6058	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋) → (𝐹 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
8	1, 6, 7	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
9		opelxpi 5148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
10		fvco3 6275	. . . . . . . 8 ⊢ (( − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)))
11	6, 9, 10	syl2an 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑎, 𝑏⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)))
12		df-ov 6653	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
13		df-ov 6653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 − 𝑏) = ( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩)
14	13	fveq2i 6194	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑎, 𝑏⟩))
15	11, 12, 14	3eqtr4g 2681	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)))
16	15	eqeq1d 2624	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = 0))
17	3, 4	grpsubcl 17495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑋)
18	17	3expb 1266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑋)
19	2, 18	sylan 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑋)
20		nrmmetd.1	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
21	20	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
22		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑏) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)))
23	22	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑏) → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = 0))
24		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑏) → (𝑥 = 0 ↔ (𝑎 − 𝑏) = 0 ))
25	23, 24	bibi12d 335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑏) → (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ↔ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = 0 ↔ (𝑎 − 𝑏) = 0 )))
26	25	rspccva 3308	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = 0 ↔ (𝑎 − 𝑏) = 0 ))
27	21, 26	sylan 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = 0 ↔ (𝑎 − 𝑏) = 0 ))
28	19, 27	syldan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = 0 ↔ (𝑎 − 𝑏) = 0 ))
29		nrmmetd.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0_g‘𝐺)
30	3, 29, 4	grpsubeq0 17501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → ((𝑎 − 𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
31	30	3expb 1266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝑎 − 𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
32	2, 31	sylan 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝑎 − 𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
33	16, 28, 32	3bitrd 294	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏))
34	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
35	19	adantrr 753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑎 − 𝑏) ∈ 𝑋)
36	34, 35	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ∈ ℝ)
37	2	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
38		simprll 802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝑎 ∈ 𝑋)
39		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝑐 ∈ 𝑋)
40	3, 4	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝑎 − 𝑐) ∈ 𝑋)
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑎 − 𝑐) ∈ 𝑋)
42	34, 41	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ∈ ℝ)
43		simprlr 803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → 𝑏 ∈ 𝑋)
44	3, 4	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝑏 − 𝑐) ∈ 𝑋)
45	37, 43, 39, 44	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑏 − 𝑐) ∈ 𝑋)
46	34, 45	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)) ∈ ℝ)
47	42, 46	readdcld 10069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))) ∈ ℝ)
48	3, 4	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → (𝑐 − 𝑎) ∈ 𝑋)
49	37, 39, 38, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑐 − 𝑎) ∈ 𝑋)
50	34, 49	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) ∈ ℝ)
51	3, 4	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → (𝑐 − 𝑏) ∈ 𝑋)
52	37, 39, 43, 51	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑐 − 𝑏) ∈ 𝑋)
53	34, 52	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)) ∈ ℝ)
54	50, 53	readdcld 10069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) + (𝐹‘(𝑐 − 𝑏))) ∈ ℝ)
55	3, 4	grpnnncan2 17512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐)) = (𝑎 − 𝑏))
56	37, 38, 43, 39, 55	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐)) = (𝑎 − 𝑏))
57	56	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐))) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)))
58		nrmmetd.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
59	58	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
61		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑐) → (𝑥 − 𝑦) = ((𝑎 − 𝑐) − 𝑦))
62	61	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑐) → (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − 𝑦)))
63		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑐) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)))
64	63	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑐) → ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘𝑦)))
65	62, 64	breq12d 4666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑎 − 𝑐) → ((𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘𝑦))))
66		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑐) → ((𝑎 − 𝑐) − 𝑦) = ((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐)))
67	66	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑐) → (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − 𝑦)) = (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐))))
68		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑐) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)))
69	68	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑐) → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))))
70	67, 69	breq12d 4666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑐) → ((𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐))) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)))))
71	65, 70	rspc2va 3323	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 − 𝑐) ∈ 𝑋 ∧ (𝑏 − 𝑐) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦))) → (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐))) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))))
72	41, 45, 60, 71	syl21anc 1325	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘((𝑎 − 𝑐) − (𝑏 − 𝑐))) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))))
73	57, 72	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ≤ ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))))
74		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 ∈ 𝑋 ↔ 𝑐 ∈ 𝑋))
75	74	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ↔ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)))
76	75	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋))))
77		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑎 − 𝑏) = (𝑎 − 𝑐))
78	77	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)))
79		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑏 − 𝑎) = (𝑐 − 𝑎))
80	79	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)) = (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)))
81	78, 80	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ≤ (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)) ↔ (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎))))
82	76, 81	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ≤ (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)))))
83	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
84	3, 29	grpidcl 17450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑋)
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 0 ∈ 𝑋)
86		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝑏 ∈ 𝑋)
87		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝑎 ∈ 𝑋)
88	3, 4	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → (𝑏 − 𝑎) ∈ 𝑋)
89	83, 86, 87, 88	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ 𝑋)
90	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
91		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 − 𝑦) = ( 0 − 𝑦))
92	91	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) = (𝐹‘( 0 − 𝑦)))
93		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘ 0 ))
94	93	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘𝑦)))
95	92, 94	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘( 0 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘𝑦))))
96		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑎) → ( 0 − 𝑦) = ( 0 − (𝑏 − 𝑎)))
97	96	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑎) → (𝐹‘( 0 − 𝑦)) = (𝐹‘( 0 − (𝑏 − 𝑎))))
98		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑎) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)))
99	98	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑎) → ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))))
100	97, 99	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑏 − 𝑎) → ((𝐹‘( 0 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘( 0 − (𝑏 − 𝑎))) ≤ ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)))))
101	95, 100	rspc2va 3323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((( 0 ∈ 𝑋 ∧ (𝑏 − 𝑎) ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦))) → (𝐹‘( 0 − (𝑏 − 𝑎))) ≤ ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))))
102	85, 89, 90, 101	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘( 0 − (𝑏 − 𝑎))) ≤ ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))))
103		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (inv_g‘𝐺) = (inv_g‘𝐺)
104	3, 4, 103, 29	grpinvval2 17498	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 − 𝑎) ∈ 𝑋) → ((inv_g‘𝐺)‘(𝑏 − 𝑎)) = ( 0 − (𝑏 − 𝑎)))
105	83, 89, 104	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((inv_g‘𝐺)‘(𝑏 − 𝑎)) = ( 0 − (𝑏 − 𝑎)))
106	3, 4, 103	grpinvsub 17497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → ((inv_g‘𝐺)‘(𝑏 − 𝑎)) = (𝑎 − 𝑏))
107	83, 86, 87, 106	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((inv_g‘𝐺)‘(𝑏 − 𝑎)) = (𝑎 − 𝑏))
108	105, 107	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ( 0 − (𝑏 − 𝑎)) = (𝑎 − 𝑏))
109	108	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘( 0 − (𝑏 − 𝑎))) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)))
110	2, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑋)
111		pm5.501 356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝑥 = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0)))
112		bicom 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = 0) ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ))
113	111, 112	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 )))
114	93	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝐹‘ 0 ) = 0))
115	113, 114	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ↔ (𝐹‘ 0 ) = 0))
116	115	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) ∧ 0 ∈ 𝑋) → (𝐹‘ 0 ) = 0)
117	21, 110, 116	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘ 0 ) = 0)
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘ 0 ) = 0)
119	118	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))) = (0 + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))))
120	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
121	120, 89	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)) ∈ ℝ)
122	121	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)) ∈ ℂ)
123	122	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (0 + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)))
124	119, 123	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘ 0 ) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)))
125	102, 109, 124	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ≤ (𝐹‘(𝑏 − 𝑎)))
126	82, 125	chvarv 2263	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)))
127	126	adantrlr 759	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)))
128		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ∈ 𝑋 ↔ 𝑏 ∈ 𝑋))
129	128	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) ↔ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)))
130	129	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋))))
131		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 − 𝑐) = (𝑏 − 𝑐))
132	131	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) = (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)))
133		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑐 − 𝑎) = (𝑐 − 𝑏))
134	133	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) = (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)))
135	132, 134	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) ↔ (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑏))))
136	130, 135	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)))))
137	136, 126	chvarv 2263	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝑋 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)))
138	137	adantrll 758	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑏 − 𝑐)) ≤ (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)))
139	42, 46, 50, 53, 127, 138	le2addd 10646	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘(𝑎 − 𝑐)) + (𝐹‘(𝑏 − 𝑐))) ≤ ((𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) + (𝐹‘(𝑐 − 𝑏))))
140	36, 47, 54, 73, 139	letrd 10194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)) ≤ ((𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) + (𝐹‘(𝑐 − 𝑏))))
141	15	adantrr 753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = (𝐹‘(𝑎 − 𝑏)))
142	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
143		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → ⟨𝑐, 𝑎⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
144	39, 38, 143	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ⟨𝑐, 𝑎⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
145		fvco3 6275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑐, 𝑎⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑎⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑎⟩)))
146	142, 144, 145	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑎⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑎⟩)))
147		df-ov 6653	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) = ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑎⟩)
148		df-ov 6653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 − 𝑎) = ( − ‘⟨𝑐, 𝑎⟩)
149	148	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑎⟩))
150	146, 147, 149	3eqtr4g 2681	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) = (𝐹‘(𝑐 − 𝑎)))
151		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) → ⟨𝑐, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
152	39, 43, 151	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ⟨𝑐, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
153		fvco3 6275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( − :(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑏⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑏⟩)))
154	142, 152, 153	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑏⟩) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑏⟩)))
155		df-ov 6653	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏) = ((𝐹 ∘ − )‘⟨𝑐, 𝑏⟩)
156		df-ov 6653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 − 𝑏) = ( − ‘⟨𝑐, 𝑏⟩)
157	156	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)) = (𝐹‘( − ‘⟨𝑐, 𝑏⟩))
158	154, 155, 157	3eqtr4g 2681	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏) = (𝐹‘(𝑐 − 𝑏)))
159	150, 158	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏)) = ((𝐹‘(𝑐 − 𝑎)) + (𝐹‘(𝑐 − 𝑏))))
160	140, 141, 159	3brtr4d 4685	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏)))
161	160	expr 643	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (𝑐 ∈ 𝑋 → (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏))))
162	161	ralrimiv 2965	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏)))
163	33, 162	jca 554	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑋 ∧ 𝑏 ∈ 𝑋)) → (((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏))))
164	163	ralrimivva 2971	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏))))
165		fvex 6201	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
166	3, 165	eqeltri 2697	. . 3 ⊢ 𝑋 ∈ V
167		ismet 22128	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝐹 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏))))))
168	166, 167	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((𝐹 ∘ − ):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (((𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎(𝐹 ∘ − )𝑏) ≤ ((𝑐(𝐹 ∘ − )𝑎) + (𝑐(𝐹 ∘ − )𝑏)))))
169	8, 164, 168	sylanbrc 698	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ∀wral 2912 Vcvv 3200 ⟨cop 4183 class class class wbr 4653 × cxp 5112 ∘ ccom 5118 ⟶wf 5884 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℝcr 9935 0cc0 9936 + caddc 9939 ≤ cle 10075 Basecbs 15857 0_gc0g 16100 Grpcgrp 17422 inv_gcminusg 17423 -_gcsg 17424 Metcme 19732

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-po 5035 df-so 5036 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-0g 16102 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-grp 17425 df-minusg 17426 df-sbg 17427 df-met 19740

This theorem is referenced by: abvmet 22380 tngngpd 22457

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