Theorem opelxpi 5148

Description: Ordered pair membership in a Cartesian product (implication). (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opelxpi	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem opelxpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 5146	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷))
2	1	biimpri 218	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990  ⟨cop 4183   × cxp 5112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-opab 4713  df-xp 5120

This theorem is referenced by:  opelxpd  5149  opelvvg  5165  opelvv  5166  opbrop  5198  elsnxp  5677  fpr2g  6475  fliftrel  6558  elovimad  6693  fnotovb  6694  ov3  6797  ovres  6800  fovrn  6804  fnovrn  6809  ovima0  6813  ovconst2  6814  el2xptp0  7212  opiota  7229  oprab2co  7262  1stconst  7265  2ndconst  7266  seqomlem2  7546  brdifun  7771  ecopqsi  7804  brecop  7840  eceqoveq  7853  xpcomco  8050  xpf1o  8122  xpmapenlem  8127  unxpdomlem3  8166  fseqenlem1  8847  fseqenlem2  8848  isfin4-3  9137  axdc4lem  9277  iundom2g  9362  canthp1lem2  9475  addpiord  9706  mulpiord  9707  pinq  9749  nqereu  9751  addpipq  9759  addpqnq  9760  mulpipq  9762  mulpqnq  9763  ordpipq  9764  addpqf  9766  mulpqf  9768  recmulnq  9786  dmrecnq  9790  ltexnq  9797  enreceq  9887  addsrpr  9896  mulsrpr  9897  0r  9901  1sr  9902  m1r  9903  addclsr  9904  mulclsr  9905  axaddf  9966  axmulf  9967  xrlenlt  10103  uzrdgfni  12757  swrdval  13417  cnrecnv  13905  ruclem1  14960  ruclem6  14964  eucalgf  15296  eucalg  15300  qnumdenbi  15452  crth  15483  phimullem  15484  prmreclem3  15622  setscom  15903  strfv2d  15905  setsid  15914  imasaddfnlem  16188  imasaddflem  16190  imasvscafn  16197  imasvscaval  16198  xpsaddlem  16235  xpsvsca  16239  xpsle  16241  comffval  16359  oppccofval  16376  isoval  16425  funcf2  16528  idfu2nd  16537  resf2nd  16555  wunfunc  16559  funcpropd  16560  fucco  16622  homaval  16681  setcco  16733  catcco  16751  estrcco  16770  xpcco  16823  xpchom2  16826  xpcco2  16827  xpccatid  16828  prfcl  16843  prf1st  16844  prf2nd  16845  catcxpccl  16847  evlf2  16858  curf1cl  16868  curf2cl  16871  curfcl  16872  uncf1  16876  uncf2  16877  uncfcurf  16879  diag11  16883  diag12  16884  diag2  16885  curf2ndf  16887  hof2fval  16895  yonedalem21  16913  yonedalem22  16918  yonedalem3b  16919  yonffthlem  16922  joindmss  17007  meetdmss  17021  latcl2  17048  latlem  17049  latjcom  17059  latmcom  17075  lsmhash  18118  efgmf  18126  efglem  18129  vrgpf  18181  vrgpinv  18182  frgpuplem  18185  frgpup2  18189  frgpnabllem1  18276  mamudi  20209  mamudir  20210  mamuvs1  20211  mamuvs2  20212  matsubgcell  20240  matvscacell  20242  mdetrsca  20409  pmatcoe1fsupp  20506  txbas  21370  txcls  21407  txcnp  21423  upxp  21426  txcnmpt  21427  uptx  21428  txlly  21439  txnlly  21440  txtube  21443  txcmplem1  21444  txlm  21451  lmcn2  21452  tx1stc  21453  txkgen  21455  xkococnlem  21462  cnmpt21  21474  txhmeo  21606  txswaphmeolem  21607  txswaphmeo  21608  ptuncnv  21610  txflf  21810  flfcnp2  21811  tmdcn2  21893  clssubg  21912  qustgplem  21924  tsmsadd  21950  imasdsf1olem  22178  xpsdsval  22186  comet  22318  txmetcnp  22352  metustid  22359  metustsym  22360  nrmmetd  22379  isngp3  22402  ngpds  22408  tngnm  22455  qtopbaslem  22562  cnmetdval  22574  remetdval  22592  tgqioo  22603  bndth  22757  htpyco2  22778  phtpyco2  22789  bcthlem5  23125  ovollb2lem  23256  ovolctb  23258  ovoliunlem2  23271  ovolscalem1  23281  ovolicc1  23284  ioombl1lem1  23326  ioorf  23341  ioorcl  23345  dyadf  23359  itg1addlem4  23466  limccnp2  23656  dvcnp2  23683  dvaddbr  23701  dvmulbr  23702  dvcobr  23709  dvef  23743  lhop1lem  23776  taylthlem2  24128  dvdsmulf1o  24920  tgelrnln  25525  brcgr  25780  imsdval  27541  sspval  27578  ofoprabco  29464  f1od2  29499  fimaproj  29900  qtophaus  29903  prsdm  29960  prsrn  29961  mbfmco2  30327  eulerpartlemgh  30440  afsval  30749  erdszelem9  31181  cvmlift2lem1  31284  cvmlift2lem9  31293  cvmlift2lem12  31296  cvmlift2lem13  31297  cvmliftphtlem  31299  msubco  31428  msubff1  31453  mvhf  31455  msubvrs  31457  fvtransport  32139  colinearex  32167  icoreunrn  33207  relowlpssretop  33212  curf  33387  finixpnum  33394  poimirlem3  33412  poimirlem4  33413  poimirlem15  33424  poimirlem17  33426  poimirlem20  33429  poimirlem25  33434  poimirlem26  33435  poimirlem27  33436  heicant  33444  mblfinlem1  33446  mblfinlem2  33447  ftc1anc  33493  opropabco  33518  heiborlem5  33614  dvhelvbasei  36377  dvhopvadd  36382  dvhvaddcl  36384  dvhopvsca  36391  dvhvscacl  36392  dvhgrp  36396  dvhopclN  36402  dvhopaddN  36403  dvhopspN  36404  dib1dim2  36457  diblss  36459  diclspsn  36483  dih1dimatlem  36618  projf1o  39386  hoicvr  40762  hoicvrrex  40770  ovnsubaddlem1  40784  ovnhoilem1  40815  ovnlecvr2  40824  opnvonmbllem1  40846  ovolval4lem2  40864  fnotaovb  41278  aovmpt4g  41281  rngccoALTV  41988  ringccoALTV  42051  rhmsubclem2  42087  rhmsubcALTVlem2  42105