Theorem grpsubcl 17495

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3	1, 2	grpsubf 17494	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4		fovrn 6804	. 2 ⊢ (( − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl3an1 1359	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   × cxp 5112  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  Grpcgrp 17422  -_gcsg 17424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427

This theorem is referenced by:  grpsubsub  17504  grpsubsub4  17508  grpnpncan  17510  grpnnncan2  17512  dfgrp3  17514  nsgconj  17627  nsgacs  17630  nsgid  17640  ghmnsgpreima  17685  ghmeqker  17687  ghmf1  17689  conjghm  17691  conjnmz  17694  conjnmzb  17695  sylow3lem2  18043  abladdsub4  18219  abladdsub  18220  ablpncan3  18222  ablsubsub4  18224  ablpnpcan  18225  ablnnncan  18228  ablnnncan1  18229  telgsumfzslem  18385  telgsumfzs  18386  telgsums  18390  lmodvsubcl  18908  lvecvscan2  19112  coe1subfv  19636  evl1subd  19706  ipsubdir  19987  ipsubdi  19988  ip2subdi  19989  dmatsubcl  20304  scmatsubcl  20323  mdetunilem9  20426  mdetuni0  20427  chmatcl  20633  chpmat1d  20641  chpdmatlem1  20643  chpscmat  20647  chpidmat  20652  chfacfisf  20659  cpmadugsumlemF  20681  cpmidgsum2  20684  tgpconncomp  21916  ghmcnp  21918  nrmmetd  22379  ngpds2  22410  ngpds3  22412  isngp4  22416  nmsub  22427  nm2dif  22429  nmtri2  22431  subgngp  22439  ngptgp  22440  nrgdsdi  22469  nrgdsdir  22470  nlmdsdi  22485  nlmdsdir  22486  nrginvrcnlem  22495  nmods  22548  tchcphlem1  23034  tchcph  23036  cphipval2  23040  4cphipval2  23041  cphipval  23042  ipcnlem2  23043  deg1sublt  23870  ply1divmo  23895  ply1divex  23896  r1pcl  23917  r1pid  23919  ply1remlem  23922  ig1peu  23931  dchr2sum  24998  lgsqrlem2  25072  lgsqrlem3  25073  lgsqrlem4  25074  ttgcontlem1  25765  ogrpsublt  29722  archiabllem1a  29745  archiabllem2a  29748  archiabllem2c  29749  ornglmulle  29805  orngrmulle  29806  lclkrlem2m  36808  idomrootle  37773  lidldomn1  41921  linply1  42181