Theorem nrmmetd 22379

Description: Show that a group norm generates a metric. Part of Definition 2.2-1 of [Kreyszig] p. 58. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nrmmetd.x	|- X = ( Base ` G )
nrmmetd.m	|- .- = ( -g ` G )
nrmmetd.z	|- .0. = ( 0g ` G )
nrmmetd.g	|- ( ph -> G e. Grp )
nrmmetd.f	|- ( ph -> F : X --> RR )
nrmmetd.1	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( F ` x ) = 0 <-> x = .0. ) )
nrmmetd.2	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x .- y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nrmmetd	|- ( ph -> ( F o. .- ) e. ( Met ` X ) )

Distinct variable groups:   x, y, .-   x, .0. , y   x, F, y   ph, x, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   G( x, y)

Proof of Theorem nrmmetd

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrmmetd.f	. . 3 |- ( ph -> F : X --> RR )
2		nrmmetd.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. Grp )
3		nrmmetd.x	. . . . 5 |- X = ( Base ` G )
4		nrmmetd.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` G )
5	3, 4	grpsubf 17494	. . . 4 |- ( G e. Grp -> .- : ( X X. X ) --> X )
6	2, 5	syl 17	. . 3 |- ( ph -> .- : ( X X. X ) --> X )
7		fco 6058	. . 3 |- ( ( F : X --> RR /\ .- : ( X X. X ) --> X ) -> ( F o. .- ) : ( X X. X ) --> RR )
8	1, 6, 7	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( F o. .- ) : ( X X. X ) --> RR )
9		opelxpi 5148	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. X /\ b e. X ) -> <. a , b >. e. ( X X. X ) )
10		fvco3 6275	. . . . . . . 8 |- ( ( .- : ( X X. X ) --> X /\ <. a , b >. e. ( X X. X ) ) -> ( ( F o. .- ) ` <. a , b >. ) = ( F ` ( .- ` <. a , b >. ) ) )
11	6, 9, 10	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( F o. .- ) ` <. a , b >. ) = ( F ` ( .- ` <. a , b >. ) ) )
12		df-ov 6653	. . . . . . 7 |- ( a ( F o. .- ) b ) = ( ( F o. .- ) ` <. a , b >. )
13		df-ov 6653	. . . . . . . 8 |- ( a .- b ) = ( .- ` <. a , b >. )
14	13	fveq2i 6194	. . . . . . 7 |- ( F ` ( a .- b ) ) = ( F ` ( .- ` <. a , b >. ) )
15	11, 12, 14	3eqtr4g 2681	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( a ( F o. .- ) b ) = ( F ` ( a .- b ) ) )
16	15	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( a ( F o. .- ) b ) = 0 <-> ( F ` ( a .- b ) ) = 0 ) )
17	3, 4	grpsubcl 17495	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ a e. X /\ b e. X ) -> ( a .- b ) e. X )
18	17	3expb 1266	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( a .- b ) e. X )
19	2, 18	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( a .- b ) e. X )
20		nrmmetd.1	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( F ` x ) = 0 <-> x = .0. ) )
21	20	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X ( ( F ` x ) = 0 <-> x = .0. ) )
22		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( a .- b ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( a .- b ) ) )
23	22	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( a .- b ) -> ( ( F ` x ) = 0 <-> ( F ` ( a .- b ) ) = 0 ) )
24		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( a .- b ) -> ( x = .0. <-> ( a .- b ) = .0. ) )
25	23, 24	bibi12d 335	. . . . . . . 8 |- ( x = ( a .- b ) -> ( ( ( F ` x ) = 0 <-> x = .0. ) <-> ( ( F ` ( a .- b ) ) = 0 <-> ( a .- b ) = .0. ) ) )
26	25	rspccva 3308	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. X ( ( F ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ ( a .- b ) e. X ) -> ( ( F ` ( a .- b ) ) = 0 <-> ( a .- b ) = .0. ) )
27	21, 26	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a .- b ) e. X ) -> ( ( F ` ( a .- b ) ) = 0 <-> ( a .- b ) = .0. ) )
28	19, 27	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( F ` ( a .- b ) ) = 0 <-> ( a .- b ) = .0. ) )
29		nrmmetd.z	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` G )
30	3, 29, 4	grpsubeq0 17501	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ a e. X /\ b e. X ) -> ( ( a .- b ) = .0. <-> a = b ) )
31	30	3expb 1266	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( a .- b ) = .0. <-> a = b ) )
32	2, 31	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( a .- b ) = .0. <-> a = b ) )
33	16, 28, 32	3bitrd 294	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( a ( F o. .- ) b ) = 0 <-> a = b ) )
34	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> F : X --> RR )
35	19	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( a .- b ) e. X )
36	34, 35	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( a .- b ) ) e. RR )
37	2	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> G e. Grp )
38		simprll 802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> a e. X )
39		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> c e. X )
40	3, 4	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ a e. X /\ c e. X ) -> ( a .- c ) e. X )
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( a .- c ) e. X )
42	34, 41	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( a .- c ) ) e. RR )
43		simprlr 803	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> b e. X )
44	3, 4	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ b e. X /\ c e. X ) -> ( b .- c ) e. X )
45	37, 43, 39, 44	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( b .- c ) e. X )
46	34, 45	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( b .- c ) ) e. RR )
47	42, 46	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( ( F ` ( a .- c ) ) + ( F ` ( b .- c ) ) ) e. RR )
48	3, 4	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ c e. X /\ a e. X ) -> ( c .- a ) e. X )
49	37, 39, 38, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( c .- a ) e. X )
50	34, 49	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( c .- a ) ) e. RR )
51	3, 4	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ c e. X /\ b e. X ) -> ( c .- b ) e. X )
52	37, 39, 43, 51	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( c .- b ) e. X )
53	34, 52	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( c .- b ) ) e. RR )
54	50, 53	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( ( F ` ( c .- a ) ) + ( F ` ( c .- b ) ) ) e. RR )
55	3, 4	grpnnncan2 17512	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( a e. X /\ b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( a .- c ) .- ( b .- c ) ) = ( a .- b ) )
56	37, 38, 43, 39, 55	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( ( a .- c ) .- ( b .- c ) ) = ( a .- b ) )
57	56	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( ( a .- c ) .- ( b .- c ) ) ) = ( F ` ( a .- b ) ) )
58		nrmmetd.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( F ` ( x .- y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
59	58	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .- y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .- y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
61		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( a .- c ) -> ( x .- y ) = ( ( a .- c ) .- y ) )
62	61	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( a .- c ) -> ( F ` ( x .- y ) ) = ( F ` ( ( a .- c ) .- y ) ) )
63		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( a .- c ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( a .- c ) ) )
64	63	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( a .- c ) -> ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` ( a .- c ) ) + ( F ` y ) ) )
65	62, 64	breq12d 4666	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( a .- c ) -> ( ( F ` ( x .- y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( ( a .- c ) .- y ) ) <_ ( ( F ` ( a .- c ) ) + ( F ` y ) ) ) )
66		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( b .- c ) -> ( ( a .- c ) .- y ) = ( ( a .- c ) .- ( b .- c ) ) )
67	66	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( b .- c ) -> ( F ` ( ( a .- c ) .- y ) ) = ( F ` ( ( a .- c ) .- ( b .- c ) ) ) )
68		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( b .- c ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( b .- c ) ) )
69	68	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( b .- c ) -> ( ( F ` ( a .- c ) ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` ( a .- c ) ) + ( F ` ( b .- c ) ) ) )
70	67, 69	breq12d 4666	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( b .- c ) -> ( ( F ` ( ( a .- c ) .- y ) ) <_ ( ( F ` ( a .- c ) ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( ( a .- c ) .- ( b .- c ) ) ) <_ ( ( F ` ( a .- c ) ) + ( F ` ( b .- c ) ) ) ) )
71	65, 70	rspc2va 3323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( a .- c ) e. X /\ ( b .- c ) e. X ) /\ A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .- y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) -> ( F ` ( ( a .- c ) .- ( b .- c ) ) ) <_ ( ( F ` ( a .- c ) ) + ( F ` ( b .- c ) ) ) )
72	41, 45, 60, 71	syl21anc 1325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( ( a .- c ) .- ( b .- c ) ) ) <_ ( ( F ` ( a .- c ) ) + ( F ` ( b .- c ) ) ) )
73	57, 72	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( a .- b ) ) <_ ( ( F ` ( a .- c ) ) + ( F ` ( b .- c ) ) ) )
74		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = c -> ( b e. X <-> c e. X ) )
75	74	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = c -> ( ( a e. X /\ b e. X ) <-> ( a e. X /\ c e. X ) ) )
76	75	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = c -> ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) <-> ( ph /\ ( a e. X /\ c e. X ) ) ) )
77		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = c -> ( a .- b ) = ( a .- c ) )
78	77	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = c -> ( F ` ( a .- b ) ) = ( F ` ( a .- c ) ) )
79		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = c -> ( b .- a ) = ( c .- a ) )
80	79	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = c -> ( F ` ( b .- a ) ) = ( F ` ( c .- a ) ) )
81	78, 80	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = c -> ( ( F ` ( a .- b ) ) <_ ( F ` ( b .- a ) ) <-> ( F ` ( a .- c ) ) <_ ( F ` ( c .- a ) ) ) )
82	76, 81	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = c -> ( ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( F ` ( a .- b ) ) <_ ( F ` ( b .- a ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( a e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( a .- c ) ) <_ ( F ` ( c .- a ) ) ) ) )
83	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> G e. Grp )
84	3, 29	grpidcl 17450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G e. Grp -> .0. e. X )
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> .0. e. X )
86		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> b e. X )
87		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> a e. X )
88	3, 4	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ b e. X /\ a e. X ) -> ( b .- a ) e. X )
89	83, 86, 87, 88	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( b .- a ) e. X )
90	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .- y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
91		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = .0. -> ( x .- y ) = ( .0. .- y ) )
92	91	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = .0. -> ( F ` ( x .- y ) ) = ( F ` ( .0. .- y ) ) )
93		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = .0. -> ( F ` x ) = ( F ` .0. ) )
94	93	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = .0. -> ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` .0. ) + ( F ` y ) ) )
95	92, 94	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = .0. -> ( ( F ` ( x .- y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( .0. .- y ) ) <_ ( ( F ` .0. ) + ( F ` y ) ) ) )
96		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( b .- a ) -> ( .0. .- y ) = ( .0. .- ( b .- a ) ) )
97	96	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( b .- a ) -> ( F ` ( .0. .- y ) ) = ( F ` ( .0. .- ( b .- a ) ) ) )
98		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( b .- a ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( b .- a ) ) )
99	98	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( b .- a ) -> ( ( F ` .0. ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` .0. ) + ( F ` ( b .- a ) ) ) )
100	97, 99	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( b .- a ) -> ( ( F ` ( .0. .- y ) ) <_ ( ( F ` .0. ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( .0. .- ( b .- a ) ) ) <_ ( ( F ` .0. ) + ( F ` ( b .- a ) ) ) ) )
101	95, 100	rspc2va 3323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( .0. e. X /\ ( b .- a ) e. X ) /\ A. x e. X A. y e. X ( F ` ( x .- y ) ) <_ ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) ) -> ( F ` ( .0. .- ( b .- a ) ) ) <_ ( ( F ` .0. ) + ( F ` ( b .- a ) ) ) )
102	85, 89, 90, 101	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( F ` ( .0. .- ( b .- a ) ) ) <_ ( ( F ` .0. ) + ( F ` ( b .- a ) ) ) )
103		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
104	3, 4, 103, 29	grpinvval2 17498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. Grp /\ ( b .- a ) e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` ( b .- a ) ) = ( .0. .- ( b .- a ) ) )
105	83, 89, 104	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( b .- a ) ) = ( .0. .- ( b .- a ) ) )
106	3, 4, 103	grpinvsub 17497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. Grp /\ b e. X /\ a e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` ( b .- a ) ) = ( a .- b ) )
107	83, 86, 87, 106	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` ( b .- a ) ) = ( a .- b ) )
108	105, 107	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( .0. .- ( b .- a ) ) = ( a .- b ) )
109	108	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( F ` ( .0. .- ( b .- a ) ) ) = ( F ` ( a .- b ) ) )
110	2, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> .0. e. X )
111		pm5.501 356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = .0. -> ( ( F ` x ) = 0 <-> ( x = .0. <-> ( F ` x ) = 0 ) ) )
112		bicom 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = .0. <-> ( F ` x ) = 0 ) <-> ( ( F ` x ) = 0 <-> x = .0. ) )
113	111, 112	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = .0. -> ( ( F ` x ) = 0 <-> ( ( F ` x ) = 0 <-> x = .0. ) ) )
114	93	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = .0. -> ( ( F ` x ) = 0 <-> ( F ` .0. ) = 0 ) )
115	113, 114	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = .0. -> ( ( ( F ` x ) = 0 <-> x = .0. ) <-> ( F ` .0. ) = 0 ) )
116	115	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. x e. X ( ( F ` x ) = 0 <-> x = .0. ) /\ .0. e. X ) -> ( F ` .0. ) = 0 )
117	21, 110, 116	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F ` .0. ) = 0 )
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( F ` .0. ) = 0 )
119	118	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( F ` .0. ) + ( F ` ( b .- a ) ) ) = ( 0 + ( F ` ( b .- a ) ) ) )
120	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> F : X --> RR )
121	120, 89	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( F ` ( b .- a ) ) e. RR )
122	121	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( F ` ( b .- a ) ) e. CC )
123	122	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( 0 + ( F ` ( b .- a ) ) ) = ( F ` ( b .- a ) ) )
124	119, 123	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( F ` .0. ) + ( F ` ( b .- a ) ) ) = ( F ` ( b .- a ) ) )
125	102, 109, 124	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( F ` ( a .- b ) ) <_ ( F ` ( b .- a ) ) )
126	82, 125	chvarv 2263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( a .- c ) ) <_ ( F ` ( c .- a ) ) )
127	126	adantrlr 759	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( a .- c ) ) <_ ( F ` ( c .- a ) ) )
128		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = b -> ( a e. X <-> b e. X ) )
129	128	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = b -> ( ( a e. X /\ c e. X ) <-> ( b e. X /\ c e. X ) ) )
130	129	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = b -> ( ( ph /\ ( a e. X /\ c e. X ) ) <-> ( ph /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) ) )
131		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = b -> ( a .- c ) = ( b .- c ) )
132	131	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = b -> ( F ` ( a .- c ) ) = ( F ` ( b .- c ) ) )
133		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = b -> ( c .- a ) = ( c .- b ) )
134	133	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = b -> ( F ` ( c .- a ) ) = ( F ` ( c .- b ) ) )
135	132, 134	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = b -> ( ( F ` ( a .- c ) ) <_ ( F ` ( c .- a ) ) <-> ( F ` ( b .- c ) ) <_ ( F ` ( c .- b ) ) ) )
136	130, 135	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = b -> ( ( ( ph /\ ( a e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( a .- c ) ) <_ ( F ` ( c .- a ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( b .- c ) ) <_ ( F ` ( c .- b ) ) ) ) )
137	136, 126	chvarv 2263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( b .- c ) ) <_ ( F ` ( c .- b ) ) )
138	137	adantrll 758	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( b .- c ) ) <_ ( F ` ( c .- b ) ) )
139	42, 46, 50, 53, 127, 138	le2addd 10646	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( ( F ` ( a .- c ) ) + ( F ` ( b .- c ) ) ) <_ ( ( F ` ( c .- a ) ) + ( F ` ( c .- b ) ) ) )
140	36, 47, 54, 73, 139	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( F ` ( a .- b ) ) <_ ( ( F ` ( c .- a ) ) + ( F ` ( c .- b ) ) ) )
141	15	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( a ( F o. .- ) b ) = ( F ` ( a .- b ) ) )
142	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> .- : ( X X. X ) --> X )
143		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. X /\ a e. X ) -> <. c , a >. e. ( X X. X ) )
144	39, 38, 143	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> <. c , a >. e. ( X X. X ) )
145		fvco3 6275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( .- : ( X X. X ) --> X /\ <. c , a >. e. ( X X. X ) ) -> ( ( F o. .- ) ` <. c , a >. ) = ( F ` ( .- ` <. c , a >. ) ) )
146	142, 144, 145	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( ( F o. .- ) ` <. c , a >. ) = ( F ` ( .- ` <. c , a >. ) ) )
147		df-ov 6653	. . . . . . . . 9 |- ( c ( F o. .- ) a ) = ( ( F o. .- ) ` <. c , a >. )
148		df-ov 6653	. . . . . . . . . 10 |- ( c .- a ) = ( .- ` <. c , a >. )
149	148	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- ( F ` ( c .- a ) ) = ( F ` ( .- ` <. c , a >. ) )
150	146, 147, 149	3eqtr4g 2681	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( c ( F o. .- ) a ) = ( F ` ( c .- a ) ) )
151		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. X /\ b e. X ) -> <. c , b >. e. ( X X. X ) )
152	39, 43, 151	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> <. c , b >. e. ( X X. X ) )
153		fvco3 6275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( .- : ( X X. X ) --> X /\ <. c , b >. e. ( X X. X ) ) -> ( ( F o. .- ) ` <. c , b >. ) = ( F ` ( .- ` <. c , b >. ) ) )
154	142, 152, 153	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( ( F o. .- ) ` <. c , b >. ) = ( F ` ( .- ` <. c , b >. ) ) )
155		df-ov 6653	. . . . . . . . 9 |- ( c ( F o. .- ) b ) = ( ( F o. .- ) ` <. c , b >. )
156		df-ov 6653	. . . . . . . . . 10 |- ( c .- b ) = ( .- ` <. c , b >. )
157	156	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- ( F ` ( c .- b ) ) = ( F ` ( .- ` <. c , b >. ) )
158	154, 155, 157	3eqtr4g 2681	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( c ( F o. .- ) b ) = ( F ` ( c .- b ) ) )
159	150, 158	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( ( c ( F o. .- ) a ) + ( c ( F o. .- ) b ) ) = ( ( F ` ( c .- a ) ) + ( F ` ( c .- b ) ) ) )
160	140, 141, 159	3brtr4d 4685	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( a e. X /\ b e. X ) /\ c e. X ) ) -> ( a ( F o. .- ) b ) <_ ( ( c ( F o. .- ) a ) + ( c ( F o. .- ) b ) ) )
161	160	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( c e. X -> ( a ( F o. .- ) b ) <_ ( ( c ( F o. .- ) a ) + ( c ( F o. .- ) b ) ) ) )
162	161	ralrimiv 2965	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> A. c e. X ( a ( F o. .- ) b ) <_ ( ( c ( F o. .- ) a ) + ( c ( F o. .- ) b ) ) )
163	33, 162	jca 554	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( ( a ( F o. .- ) b ) = 0 <-> a = b ) /\ A. c e. X ( a ( F o. .- ) b ) <_ ( ( c ( F o. .- ) a ) + ( c ( F o. .- ) b ) ) ) )
164	163	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ph -> A. a e. X A. b e. X ( ( ( a ( F o. .- ) b ) = 0 <-> a = b ) /\ A. c e. X ( a ( F o. .- ) b ) <_ ( ( c ( F o. .- ) a ) + ( c ( F o. .- ) b ) ) ) )
165		fvex 6201	. . . 4 |- ( Base ` G ) e. _V
166	3, 165	eqeltri 2697	. . 3 |- X e. _V
167		ismet 22128	. . 3 |- ( X e. _V -> ( ( F o. .- ) e. ( Met ` X ) <-> ( ( F o. .- ) : ( X X. X ) --> RR /\ A. a e. X A. b e. X ( ( ( a ( F o. .- ) b ) = 0 <-> a = b ) /\ A. c e. X ( a ( F o. .- ) b ) <_ ( ( c ( F o. .- ) a ) + ( c ( F o. .- ) b ) ) ) ) ) )
168	166, 167	ax-mp 5	. 2 |- ( ( F o. .- ) e. ( Met ` X ) <-> ( ( F o. .- ) : ( X X. X ) --> RR /\ A. a e. X A. b e. X ( ( ( a ( F o. .- ) b ) = 0 <-> a = b ) /\ A. c e. X ( a ( F o. .- ) b ) <_ ( ( c ( F o. .- ) a ) + ( c ( F o. .- ) b ) ) ) ) )
169	8, 164, 168	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> ( F o. .- ) e. ( Met ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   <_ cle 10075   Basecbs 15857   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   -gcsg 17424   Metcme 19732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-met 19740

This theorem is referenced by:  abvmet  22380  tngngpd  22457