Theorem nznngen 38515

Description: All positive integers in the set of multiples of n, nℤ, are the absolute value of n or greater. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nznngen.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
nznngen	⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)))

Proof of Theorem nznngen

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldvds 38514	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ∥
2		relimasn 5488	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
4	3	ineq1i 3810	. . . . . 6 ⊢ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) = ({𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ∩ ℕ)
5		dfrab2 3903	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = ({𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ∩ ℕ)
6	4, 5	eqtr4i 2647	. . . . 5 ⊢ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
7	6	eleq2i 2693	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
8		rabid 3116	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑥))
9		nznngen.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10		nnz 11399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
11		absdvdsb 15000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑥))
12	9, 10, 11	syl2an 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑥))
13		zabscl 14053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
14	9, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
15		dvdsle 15032	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((abs‘𝑁) ∥ 𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
16	14, 15	sylan 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((abs‘𝑁) ∥ 𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
17	12, 16	sylbid 230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
18	17	impr 649	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)) → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥)
19	8, 18	sylan2b 492	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥)
20	8	simplbi 476	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} → 𝑥 ∈ ℕ)
21	20	nnzd 11481	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} → 𝑥 ∈ ℤ)
22		eluz 11701	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)) ↔ (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
23	14, 21, 22	syl2an 494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)) ↔ (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
24	19, 23	mpbird 247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)))
25	7, 24	sylan2b 492	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)))
26	25	ex 450	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(abs‘𝑁))))
27	26	ssrdv 3609	1 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ⊆ (ℤ≥‘(abs‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {cab 2608  {crab 2916   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  {csn 4177   class class class wbr 4653   “ cima 5117  Rel wrel 5119  ‘cfv 5888   ≤ cle 10075  ℕcn 11020  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  abscabs 13974   ∥ cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984

This theorem is referenced by: (None)