Theorem nznngen 38515

Description: All positive integers in the set of multiples of n, nℤ, are the absolute value of n or greater. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
nznngen.n	|- ( ph -> N e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
nznngen	|- ( ph -> ( ( || " { N } ) i^i NN ) C_ ( ZZ>= ` ( abs ` N ) ) )

Proof of Theorem nznngen

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldvds 38514	. . . . . . . 8 |- Rel ||
2		relimasn 5488	. . . . . . . 8 |- ( Rel || -> ( || " { N } ) = { x | N || x } )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( || " { N } ) = { x | N || x }
4	3	ineq1i 3810	. . . . . 6 |- ( ( || " { N } ) i^i NN ) = ( { x | N || x } i^i NN )
5		dfrab2 3903	. . . . . 6 |- { x e. NN | N || x } = ( { x | N || x } i^i NN )
6	4, 5	eqtr4i 2647	. . . . 5 |- ( ( || " { N } ) i^i NN ) = { x e. NN | N || x }
7	6	eleq2i 2693	. . . 4 |- ( x e. ( ( || " { N } ) i^i NN ) <-> x e. { x e. NN | N || x } )
8		rabid 3116	. . . . . 6 |- ( x e. { x e. NN | N || x } <-> ( x e. NN /\ N || x ) )
9		nznngen.n	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ZZ )
10		nnz 11399	. . . . . . . . 9 |- ( x e. NN -> x e. ZZ )
11		absdvdsb 15000	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( N || x <-> ( abs ` N ) || x ) )
12	9, 10, 11	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( N || x <-> ( abs ` N ) || x ) )
13		zabscl 14053	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( abs ` N ) e. ZZ )
14	9, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` N ) e. ZZ )
15		dvdsle 15032	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` N ) e. ZZ /\ x e. NN ) -> ( ( abs ` N ) || x -> ( abs ` N ) <_ x ) )
16	14, 15	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( abs ` N ) || x -> ( abs ` N ) <_ x ) )
17	12, 16	sylbid 230	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( N || x -> ( abs ` N ) <_ x ) )
18	17	impr 649	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. NN /\ N || x ) ) -> ( abs ` N ) <_ x )
19	8, 18	sylan2b 492	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. { x e. NN | N || x } ) -> ( abs ` N ) <_ x )
20	8	simplbi 476	. . . . . . 7 |- ( x e. { x e. NN | N || x } -> x e. NN )
21	20	nnzd 11481	. . . . . 6 |- ( x e. { x e. NN | N || x } -> x e. ZZ )
22		eluz 11701	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` N ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( x e. ( ZZ>= ` ( abs ` N ) ) <-> ( abs ` N ) <_ x ) )
23	14, 21, 22	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. { x e. NN | N || x } ) -> ( x e. ( ZZ>= ` ( abs ` N ) ) <-> ( abs ` N ) <_ x ) )
24	19, 23	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. { x e. NN | N || x } ) -> x e. ( ZZ>= ` ( abs ` N ) ) )
25	7, 24	sylan2b 492	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ( || " { N } ) i^i NN ) ) -> x e. ( ZZ>= ` ( abs ` N ) ) )
26	25	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( ( || " { N } ) i^i NN ) -> x e. ( ZZ>= ` ( abs ` N ) ) ) )
27	26	ssrdv 3609	1 |- ( ph -> ( ( || " { N } ) i^i NN ) C_ ( ZZ>= ` ( abs ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   "cima 5117   Rel wrel 5119   ` cfv 5888   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   abscabs 13974   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984

This theorem is referenced by: (None)