Theorem ofs2 13710

Description: Letterwise operations on a double letter word. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ofs2	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐶𝐷”⟩) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐷)”⟩)

Proof of Theorem ofs2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 13593	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
2		df-s2 13593	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)
3	1, 2	oveq12i 6662	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐶𝐷”⟩) = ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) ∘𝑓 𝑅(⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩))
4		simpll 790	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
5	4	s1cld 13383	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆)
6		simplr 792	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
7	6	s1cld 13383	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆)
8		simprl 794	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → 𝐶 ∈ 𝑇)
9	8	s1cld 13383	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ⟨“𝐶”⟩ ∈ Word 𝑇)
10		simprr 796	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → 𝐷 ∈ 𝑇)
11	10	s1cld 13383	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ⟨“𝐷”⟩ ∈ Word 𝑇)
12		s1len 13385	. . . . . 6 ⊢ (#‘⟨“𝐴”⟩) = 1
13		s1len 13385	. . . . . 6 ⊢ (#‘⟨“𝐶”⟩) = 1
14	12, 13	eqtr4i 2647	. . . . 5 ⊢ (#‘⟨“𝐴”⟩) = (#‘⟨“𝐶”⟩)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → (#‘⟨“𝐴”⟩) = (#‘⟨“𝐶”⟩))
16		s1len 13385	. . . . . 6 ⊢ (#‘⟨“𝐵”⟩) = 1
17		s1len 13385	. . . . . 6 ⊢ (#‘⟨“𝐷”⟩) = 1
18	16, 17	eqtr4i 2647	. . . . 5 ⊢ (#‘⟨“𝐵”⟩) = (#‘⟨“𝐷”⟩)
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → (#‘⟨“𝐵”⟩) = (#‘⟨“𝐷”⟩))
20	5, 7, 9, 11, 15, 19	ofccat 13708	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ((⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) ∘𝑓 𝑅(⟨“𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)) = ((⟨“𝐴”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐶”⟩) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐷”⟩)))
21	3, 20	syl5eq 2668	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐶𝐷”⟩) = ((⟨“𝐴”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐶”⟩) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐷”⟩)))
22		ofs1 13709	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐴”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐶”⟩) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩)
23	4, 8, 22	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → (⟨“𝐴”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐶”⟩) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩)
24		ofs1 13709	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) → (⟨“𝐵”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐷”⟩) = ⟨“(𝐵𝑅𝐷)”⟩)
25	6, 10, 24	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → (⟨“𝐵”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐷”⟩) = ⟨“(𝐵𝑅𝐷)”⟩)
26	23, 25	oveq12d 6668	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ((⟨“𝐴”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐶”⟩) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐷”⟩)) = (⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩ ++ ⟨“(𝐵𝑅𝐷)”⟩))
27		df-s2 13593	. . 3 ⊢ ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐷)”⟩ = (⟨“(𝐴𝑅𝐶)”⟩ ++ ⟨“(𝐵𝑅𝐷)”⟩)
28	26, 27	syl6eqr 2674	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → ((⟨“𝐴”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐶”⟩) ++ (⟨“𝐵”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐷”⟩)) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐷)”⟩)
29	21, 28	eqtrd 2656	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∘𝑓 𝑅⟨“𝐶𝐷”⟩) = ⟨“(𝐴𝑅𝐶)(𝐵𝑅𝐷)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  1c1 9937  #chash 13117   ++ cconcat 13293  ⟨“cs1 13294  ⟨“cs2 13586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593

This theorem is referenced by:  amgmw2d  42550