Theorem pcoptcl 22821

Description: A constant function is a path from 𝑌 to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pcopt.1	⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {𝑌})

Assertion

Ref	Expression
pcoptcl	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌))

Proof of Theorem pcoptcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcopt.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((0[,]1) × {𝑌})
2		iitopon 22682	. . . 4 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
3		cnconst2 21087	. . . 4 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → ((0[,]1) × {𝑌}) ∈ (II Cn 𝐽))
4	2, 3	mp3an1 1411	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → ((0[,]1) × {𝑌}) ∈ (II Cn 𝐽))
5	1, 4	syl5eqel 2705	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ (II Cn 𝐽))
6	1	fveq1i 6192	. . 3 ⊢ (𝑃‘0) = (((0[,]1) × {𝑌})‘0)
7		simpr 477	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑋)
8		0elunit 12290	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
9		fvconst2g 6467	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑌})‘0) = 𝑌)
10	7, 8, 9	sylancl 694	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (((0[,]1) × {𝑌})‘0) = 𝑌)
11	6, 10	syl5eq 2668	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝑃‘0) = 𝑌)
12	1	fveq1i 6192	. . 3 ⊢ (𝑃‘1) = (((0[,]1) × {𝑌})‘1)
13		1elunit 12291	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
14		fvconst2g 6467	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (((0[,]1) × {𝑌})‘1) = 𝑌)
15	7, 13, 14	sylancl 694	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (((0[,]1) × {𝑌})‘1) = 𝑌)
16	12, 15	syl5eq 2668	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝑃‘1) = 𝑌)
17	5, 11, 16	3jca 1242	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) → (𝑃 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑃‘0) = 𝑌 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {csn 4177   × cxp 5112  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937  [,]cicc 12178  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028  IIcii 22678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-ii 22680

This theorem is referenced by:  pcopt  22822  pcopt2  22823  pcorevlem  22826  pi1grplem  22849  sconnpi1  31221  cvxsconn  31225