Theorem 0elunit 12290

Description: Zero is an element of the closed unit. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10040	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 11110	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 10551	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		1re 10039	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
5	1, 4	elicc2i 12239	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
6	1, 2, 3, 5	mpbir3an 1244	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Syntax hints:   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   ≤ cle 10075  [,]cicc 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-icc 12182

This theorem is referenced by:  xrhmeo  22745  htpycom  22775  htpyid  22776  htpyco1  22777  htpyco2  22778  htpycc  22779  phtpy01  22784  phtpycom  22787  phtpyid  22788  phtpyco2  22789  phtpycc  22790  reparphti  22797  pcocn  22817  pcohtpylem  22819  pcoptcl  22821  pcopt  22822  pcopt2  22823  pcoass  22824  pcorevcl  22825  pcorevlem  22826  pi1xfrf  22853  pi1xfr  22855  pi1xfrcnvlem  22856  pi1xfrcnv  22857  pi1cof  22859  pi1coghm  22861  dvlipcn  23757  lgamgulmlem2  24756  ttgcontlem1  25765  brbtwn2  25785  axsegconlem1  25797  axpaschlem  25820  axcontlem7  25850  axcontlem8  25851  xrge0iifcnv  29979  xrge0iifiso  29981  xrge0iifhom  29983  cnpconn  31212  pconnconn  31213  txpconn  31214  ptpconn  31215  indispconn  31216  connpconn  31217  sconnpi1  31221  txsconnlem  31222  txsconn  31223  cvxpconn  31224  cvxsconn  31225  cvmliftlem14  31279  cvmlift2lem2  31286  cvmlift2lem3  31287  cvmlift2lem8  31292  cvmlift2lem12  31296  cvmlift2lem13  31297  cvmliftphtlem  31299  cvmliftpht  31300  cvmlift3lem1  31301  cvmlift3lem2  31302  cvmlift3lem4  31304  cvmlift3lem5  31305  cvmlift3lem6  31306  cvmlift3lem9  31309