pell1234qrdich - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem pell1234qrdich 37425

Description: A general Pell solution is either a positive solution, or its negation is. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pell1234qrdich	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))

Proof of Theorem pell1234qrdich Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpell1234qr 37415	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
2		simp-4r 807	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
4	3	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏))))
5		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (𝑐↑2) = (𝑎↑2))
6	5	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
7	6	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
8	4, 7	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → ((𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
9	8	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
10	9	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℕ₀ ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
11	10	adantll 750	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
12		elpell14qr 37413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
13	12	ad4antr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
14	2, 11, 13	mpbir2and 957	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
15	14	orcd 407	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
16	15	exp31 630	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ ℕ₀ → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))))
17		simp-5r 809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18	17	renegcld 10457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝐴 ∈ ℝ)
19		simpllr 799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝑎 ∈ ℕ₀)
20		znegcl 11412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → -𝑏 ∈ ℤ)
21	20	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝑏 ∈ ℤ)
22		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
23	22	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝐴 = -(𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
24		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
25	24	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝑎 ∈ ℂ)
26		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
27	26	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → 𝐷 ∈ ℂ)
28	27	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℂ)
29	28	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
30		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
31	30	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝑏 ∈ ℂ)
32	29, 31	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ)
33	25, 32	negdid 10405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -(𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (-𝑎 + -((√‘𝐷) · 𝑏)))
34		mulneg2 10467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((√‘𝐷) · -𝑏) = -((√‘𝐷) · 𝑏))
35	34	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → -((√‘𝐷) · 𝑏) = ((√‘𝐷) · -𝑏))
36	29, 31, 35	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -((√‘𝐷) · 𝑏) = ((√‘𝐷) · -𝑏))
37	36	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (-𝑎 + -((√‘𝐷) · 𝑏)) = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))
38	23, 33, 37	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))
39		sqneg 12923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (-𝑎↑2) = (𝑎↑2))
40	25, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (-𝑎↑2) = (𝑎↑2))
41		sqneg 12923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
42	31, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (-𝑏↑2) = (𝑏↑2))
43	42	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐷 · (-𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
44	40, 43	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
45		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
46	44, 45	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)
47		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = -𝑎 → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
48	47	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = -𝑎 → (-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ↔ -𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑))))
49		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = -𝑎 → (𝑐↑2) = (-𝑎↑2))
50	49	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = -𝑎 → ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))))
51	50	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = -𝑎 → (((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 ↔ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))
52	48, 51	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = -𝑎 → ((-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) ↔ (-𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)))
53		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → ((√‘𝐷) · 𝑑) = ((√‘𝐷) · -𝑏))
54	53	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)))
55	54	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → (-𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ↔ -𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏))))
56		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → (𝑑↑2) = (-𝑏↑2))
57	56	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → (𝐷 · (𝑑↑2)) = (𝐷 · (-𝑏↑2)))
58	57	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))))
59	58	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → (((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 ↔ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1))
60	55, 59	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = -𝑏 → ((-𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) ↔ (-𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∧ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)))
61	52, 60	rspc2ev 3324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-𝑎 ∈ ℕ₀ ∧ -𝑏 ∈ ℤ ∧ (-𝐴 = (-𝑎 + ((√‘𝐷) · -𝑏)) ∧ ((-𝑎↑2) − (𝐷 · (-𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℤ (-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))
62	19, 21, 38, 46, 61	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℤ (-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))
63		elpell14qr 37413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → (-𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℤ (-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
64	63	ad5antr 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (-𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℤ (-𝐴 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
65	18, 62, 64	mpbir2and 957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))
66	65	olcd 408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))
67	66	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
68	67	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ -𝑎 ∈ ℕ₀) → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
69	68	ex 450	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (-𝑎 ∈ ℕ₀ → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))))
70		elznn0 11392	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ∈ ℕ₀ ∨ -𝑎 ∈ ℕ₀)))
71	70	simprbi 480	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ ℕ₀ ∨ -𝑎 ∈ ℕ₀))
72	71	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ ℕ₀ ∨ -𝑎 ∈ ℕ₀))
73	16, 69, 72	mpjaod 396	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
74	73	rexlimdva 3031	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
75	74	expimpd 629	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
76	1, 75	sylbid 230	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷))))
77	76	imp 445	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻_NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∨ -𝐴 ∈ (Pell14QR‘𝐷)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 196 ∨ wo 383 ∧ wa 384 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ∃wrex 2913 ∖ cdif 3571 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 1c1 9937 + caddc 9939 · cmul 9941 − cmin 10266 -cneg 10267 ℕcn 11020 2c2 11070 ℕ₀cn0 11292 ℤcz 11377 ↑cexp 12860 √csqrt 13973 ◻_NNcsquarenn 37400 Pell1234QRcpell1234qr 37402 Pell14QRcpell14qr 37403

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-pell14qr 37407 df-pell1234qr 37408

This theorem is referenced by: elpell14qr2 37426

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