Theorem pfxccatin12d 41432

Description: The subword of a concatenation of two words within both of the concatenated words. Could replace swrdccatin12d 13501. (Contributed by AV, 10-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
pfxccatin12d.l	⊢ (𝜑 → (#‘𝐴) = 𝐿)
pfxccatin12d.w	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
pfxccatin12d.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
pfxccatin12d.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))

Proof of Theorem pfxccatin12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxccatin12d.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
2		pfxccatin12d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
3		pfxccatin12d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))
4		pfxccatin12d.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐴) = 𝐿)
5	4	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...(#‘𝐴)) = (0...𝐿))
6	5	eleq2d 2687	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (0...(#‘𝐴)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝐿)))
7	4	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) = (𝐿 + (#‘𝐵)))
8	4, 7	oveq12d 6668	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐴)...((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) = (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))
9	8	eleq2d 2687	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ((#‘𝐴)...((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↔ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))))
10	6, 9	anbi12d 747	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ (0...(#‘𝐴)) ∧ 𝑁 ∈ ((#‘𝐴)...((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ↔ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))))
11	2, 3, 10	mpbir2and 957	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (0...(#‘𝐴)) ∧ 𝑁 ∈ ((#‘𝐴)...((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))))
12		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (#‘𝐴) = (#‘𝐴)
13	12	pfxccatin12 41425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...(#‘𝐴)) ∧ 𝑁 ∈ ((#‘𝐴)...((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, (#‘𝐴)⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − (#‘𝐴))))))
14	1, 11, 13	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, (#‘𝐴)⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − (#‘𝐴)))))
15	4	opeq2d 4409	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑀, (#‘𝐴)⟩ = ⟨𝑀, 𝐿⟩)
16	15	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 substr ⟨𝑀, (#‘𝐴)⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))
17	4	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − (#‘𝐴)) = (𝑁 − 𝐿))
18	17	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 prefix (𝑁 − (#‘𝐴))) = (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))
19	16, 18	oveq12d 6668	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, (#‘𝐴)⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − (#‘𝐴)))) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))
20	14, 19	eqtrd 2656	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ⟨cop 4183  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936   + caddc 9939   − cmin 10266  ...cfz 12326  #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293   substr csubstr 13295   prefix cpfx 41381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-substr 13303  df-pfx 41382

This theorem is referenced by: (None)