Theorem pmtrdifellem4 17899

Description: Lemma 4 for pmtrdifel 17900. (Contributed by AV, 28-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r	⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifel.0	⊢ 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifellem4	⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆‘𝐾) = 𝐾)

Proof of Theorem pmtrdifellem4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrdifel.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2		pmtrdifel.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
3		pmtrdifel.0	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom (𝑄 ∖ I ))
4	1, 2, 3	pmtrdifellem1 17896	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → 𝑆 ∈ 𝑅)
5		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (pmTrsp‘𝑁) = (pmTrsp‘𝑁)
6		eqid 2622	. . . 4 ⊢ dom (𝑆 ∖ I ) = dom (𝑆 ∖ I )
7	5, 2, 6	pmtrffv 17879	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑅 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆‘𝐾) = if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), ∪ (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾))
8	4, 7	sylan 488	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆‘𝐾) = if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), ∪ (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾))
9		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
10		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
11	1, 9, 10	symgtrf 17889	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ⊆ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
12	11	sseli 3599	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → 𝑄 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))))
13	9, 10	symgbasf 17804	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) → 𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}))
14		ffn 6045	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑄 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}))
15		fndifnfp 6442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}) → dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥})
16		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾})
17		ssel2 3598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥}) → 𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}))
18		eldif 3584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ ¬ 𝐾 ∈ {𝐾}))
19		elsng 4191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝐾 ∈ {𝐾} ↔ 𝐾 = 𝐾))
20	19	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (¬ 𝐾 ∈ {𝐾} ↔ ¬ 𝐾 = 𝐾))
21		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐾 = 𝐾
22	21	pm2.24i 146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝐾 = 𝐾 → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
23	20, 22	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (¬ 𝐾 ∈ {𝐾} → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁))
24	23	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ ¬ 𝐾 ∈ {𝐾}) → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
25	18, 24	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
26	17, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} ⊆ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥}) → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
27	16, 26	mpan 706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} → ¬ 𝐾 ∈ 𝑁)
28	27	con2i 134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥})
29		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} → (𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥}))
30	29	notbid 308	. . . . . . . 8 ⊢ (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} → (¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ) ↔ ¬ 𝐾 ∈ {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥}))
31	28, 30	syl5ibr 236	. . . . . . 7 ⊢ (dom (𝑄 ∖ I ) = {𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) ∣ (𝑄‘𝑥) ≠ 𝑥} → (𝐾 ∈ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
32	14, 15, 31	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑄:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐾 ∈ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
33	12, 13, 32	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → (𝐾 ∈ 𝑁 → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
34	33	imp 445	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I ))
35	1, 2, 3	pmtrdifellem2 17897	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → dom (𝑆 ∖ I ) = dom (𝑄 ∖ I ))
36	35	eleq2d 2687	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑇 → (𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
37	36	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ) ↔ 𝐾 ∈ dom (𝑄 ∖ I )))
38	34, 37	mtbird 315	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ¬ 𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ))
39	38	iffalsed 4097	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → if(𝐾 ∈ dom (𝑆 ∖ I ), ∪ (dom (𝑆 ∖ I ) ∖ {𝐾}), 𝐾) = 𝐾)
40	8, 39	eqtrd 2656	1 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑇 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑆‘𝐾) = 𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  {crab 2916   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  ifcif 4086  {csn 4177  ∪ cuni 4436   I cid 5023  dom cdm 5114  ran crn 5115   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  Basecbs 15857  SymGrpcsymg 17797  pmTrspcpmtr 17861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-symg 17798  df-pmtr 17862

This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel2lem1  17904