Theorem pythi 27705

Description: The Pythagorean theorem for an arbitrary complex inner product (pre-Hilbert) space 𝑈. The square of the norm of the sum of two orthogonal vectors (i.e. whose inner product is 0) is the sum of the squares of their norms. Problem 2 in [Kreyszig] p. 135. This is Metamath 100 proof #4. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pyth.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
pyth.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
pyth.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
pyth.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
pythi.u	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
pythi.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
pythi.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
pythi	⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) = (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))

Proof of Theorem pythi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pyth.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		pyth.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		pyth.7	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
4		pythi.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
5		pythi.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
6		pythi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
7	1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 6	ip2dii 27699	. . 3 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴)))
8		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (𝐴𝑃𝐵) = 0)
9	4	phnvi 27671	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
10	1, 3	diporthcom 27571	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑃𝐵) = 0 ↔ (𝐵𝑃𝐴) = 0))
11	9, 5, 6, 10	mp3an 1424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 ↔ (𝐵𝑃𝐴) = 0)
12	11	biimpi 206	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (𝐵𝑃𝐴) = 0)
13	8, 12	oveq12d 6668	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴)) = (0 + 0))
14		00id 10211	. . . . . 6 ⊢ (0 + 0) = 0
15	13, 14	syl6eq 2672	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴)) = 0)
16	15	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴))) = (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + 0))
17	1, 3	dipcl 27567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) ∈ ℂ)
18	9, 5, 5, 17	mp3an 1424	. . . . . 6 ⊢ (𝐴𝑃𝐴) ∈ ℂ
19	1, 3	dipcl 27567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐵) ∈ ℂ)
20	9, 6, 6, 19	mp3an 1424	. . . . . 6 ⊢ (𝐵𝑃𝐵) ∈ ℂ
21	18, 20	addcli 10044	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) ∈ ℂ
22	21	addid1i 10223	. . . 4 ⊢ (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + 0) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵))
23	16, 22	syl6eq 2672	. . 3 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → (((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) + ((𝐴𝑃𝐵) + (𝐵𝑃𝐴))) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)))
24	7, 23	syl5eq 2668	. 2 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)))
25	1, 2	nvgcl 27475	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
26	9, 5, 6, 25	mp3an 1424	. . 3 ⊢ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋
27		pyth.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
28	1, 27, 3	ipidsq 27565	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2))
29	9, 26, 28	mp2an 708	. 2 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2)
30	1, 27, 3	ipidsq 27565	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁‘𝐴)↑2))
31	9, 5, 30	mp2an 708	. . 3 ⊢ (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁‘𝐴)↑2)
32	1, 27, 3	ipidsq 27565	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁‘𝐵)↑2))
33	9, 6, 32	mp2an 708	. . 3 ⊢ (𝐵𝑃𝐵) = ((𝑁‘𝐵)↑2)
34	31, 33	oveq12i 6662	. 2 ⊢ ((𝐴𝑃𝐴) + (𝐵𝑃𝐵)) = (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2))
35	24, 29, 34	3eqtr3g 2679	1 ⊢ ((𝐴𝑃𝐵) = 0 → ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐵))↑2) = (((𝑁‘𝐴)↑2) + ((𝑁‘𝐵)↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936   + caddc 9939  2c2 11070  ↑cexp 12860  NrmCVeccnv 27439   +_𝑣 cpv 27440  BaseSetcba 27441  norm_CVcnmcv 27445  ·_𝑖OLDcdip 27555  CPreHil_OLDccphlo 27667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-dip 27556  df-ph 27668

This theorem is referenced by: (None)