Theorem rankon 8658

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 8657	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 5778	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 6370	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 1990  ∪ cuni 4436   “ cima 5117  Oncon0 5723  ‘cfv 5888  𝑅₁cr1 8625  rankcrnk 8626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-r1 8627  df-rank 8628

This theorem is referenced by:  rankr1ai  8661  rankr1bg  8666  rankr1clem  8683  rankr1c  8684  rankpwi  8686  rankelb  8687  wfelirr  8688  rankval3b  8689  ranksnb  8690  rankr1a  8699  bndrank  8704  unbndrank  8705  rankunb  8713  rankprb  8714  rankuni2b  8716  rankuni  8726  rankuniss  8729  rankval4  8730  rankbnd2  8732  rankc1  8733  rankc2  8734  rankelun  8735  rankelpr  8736  rankelop  8737  rankmapu  8741  rankxplim  8742  rankxplim3  8744  rankxpsuc  8745  tcrank  8747  scottex  8748  scott0  8749  dfac12lem2  8966  hsmexlem5  9252  r1limwun  9558  wunex3  9563  rankcf  9599  grur1  9642  elhf2  32282  hfuni  32291  dfac11  37632