Theorem rn0 5377

Description: The range of the empty set is empty. Part of Theorem 3.8(v) of [Monk1] p. 36. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
rn0	⊢ ran ∅ = ∅

Proof of Theorem rn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dm0 5339	. 2 ⊢ dom ∅ = ∅
2		dm0rn0 5342	. 2 ⊢ (dom ∅ = ∅ ↔ ran ∅ = ∅)
3	1, 2	mpbi 220	1 ⊢ ran ∅ = ∅

Syntax hints:   = wceq 1483  ∅c0 3915  dom cdm 5114  ran crn 5115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125

This theorem is referenced by:  ima0  5481  0ima  5482  rnxpid  5567  xpima  5576  f0  6086  2ndval  7171  frxp  7287  oarec  7642  fodomr  8111  dfac5lem3  8948  itunitc  9243  0rest  16090  arwval  16693  pmtrfrn  17878  psgnsn  17940  oppglsm  18057  mpfrcl  19518  ply1frcl  19683  edgval  25941  0grsubgr  26170  0uhgrsubgr  26171  0ngrp  27365  bafval  27459  locfinref  29908  esumrnmpt2  30130  sibf0  30396  mvtval  31397  mrsubrn  31410  mrsub0  31413  mrsubf  31414  mrsubccat  31415  mrsubcn  31416  mrsubco  31418  mrsubvrs  31419  elmsubrn  31425  msubrn  31426  msubf  31429  mstaval  31441  mzpmfp  37310  dmnonrel  37896  imanonrel  37899  conrel1d  37955  clsneibex  38400  neicvgbex  38410  sge00  40593