Theorem salexct 40552

Description: An example of non trivial sigma-algebra: the collection of all subsets which either are countable or have countable complement. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salexct.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
salexct.b	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}

Assertion

Ref	Expression
salexct	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem salexct

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salexct.b	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
2		salexct.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		pwexg 4850	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
5		rabexg 4812	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)} ∈ V)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)} ∈ V)
7	1, 6	syl5eqel 2705	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
8		0elpw 4834	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝐴)
10		0fin 8188	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
11		fict 8550	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ Fin → ∅ ≼ ω)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∅ ≼ ω
13	12	orci 405	. . . . 5 ⊢ (∅ ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∅) ≼ ω)
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∅ ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∅) ≼ ω))
15	9, 14	jca 554	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (∅ ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∅) ≼ ω)))
16		breq1 4656	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ≼ ω ↔ ∅ ≼ ω))
17		difeq2 3722	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ ∅))
18	17	breq1d 4663	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ ∅) ≼ ω))
19	16, 18	orbi12d 746	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ (∅ ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∅) ≼ ω)))
20	19, 1	elrab2 3366	. . 3 ⊢ (∅ ∈ 𝑆 ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (∅ ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∅) ≼ ω)))
21	15, 20	sylibr 224	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆)
22		snidg 4206	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ {𝑦})
23		snelpwi 4912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
24		snfi 8038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
25		fict 8550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦} ≼ ω
27	26	orci 405	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
29	23, 28	jca 554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
30		breq1 4656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
31		difeq2 3722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
32	31	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
33	30, 32	orbi12d 746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
34	33, 1	elrab2 3366	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
35	29, 34	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → {𝑦} ∈ 𝑆)
36		elunii 4441	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑦} ∧ {𝑦} ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ∪ 𝑆)
37	22, 35, 36	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ∪ 𝑆)
38	37	rgen 2922	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ ∪ 𝑆
39		dfss3 3592	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ ∪ 𝑆)
40	38, 39	mpbir 221	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆
41		ssrab2 3687	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)} ⊆ 𝒫 𝐴
42	1, 41	eqsstri 3635	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝐴
43	42	unissi 4461	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑆 ⊆ ∪ 𝒫 𝐴
44		unipw 4918	. . . 4 ⊢ ∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴
45	43, 44	sseqtri 3637	. . 3 ⊢ ∪ 𝑆 ⊆ 𝐴
46	40, 45	eqssi 3619	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝑆
47		difssd 3738	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝑥) ⊆ 𝐴)
48	2, 47	ssexd 4805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ V)
49		elpwg 4166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ V → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ 𝑥) ⊆ 𝐴))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ 𝑥) ⊆ 𝐴))
51	47, 50	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴)
52	51	ad2antrr 762	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴)
53	42	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
54		elpwi 4168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
56		dfss4 3858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
57	55, 56	sylib 208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
58	57	ad2antlr 763	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
59		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ≼ ω)
60	58, 59	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω)
61		olc 399	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω))
62	60, 61	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω))
63	52, 62	jca 554	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω)))
64		breq1 4656	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴 ∖ 𝑥) → (𝑦 ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω))
65		difeq2 3722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐴 ∖ 𝑥) → (𝐴 ∖ 𝑦) = (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)))
66	65	breq1d 4663	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴 ∖ 𝑥) → ((𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω))
67	64, 66	orbi12d 746	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐴 ∖ 𝑥) → ((𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω) ↔ ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω)))
68		breq1 4656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝑦 ≼ ω))
69		difeq2 3722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ 𝑦))
70	69	breq1d 4663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω))
71	68, 70	orbi12d 746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ (𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω)))
72	71	cbvrabv 3199	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)} = {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω)}
73	1, 72	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω)}
74	67, 73	elrab2 3366	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω)))
75	63, 74	sylibr 224	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆)
76	51	ad2antrr 762	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑥 ≼ ω) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴)
77	1	rabeq2i 3197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)))
78	77	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)))
79	78	simprd 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω))
80	79	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω))
81	80	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑥 ≼ ω) → (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω))
82		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑥 ≼ ω) → ¬ 𝑥 ≼ ω)
83		pm2.53 388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) → (¬ 𝑥 ≼ ω → (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω))
84	81, 82, 83	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑥 ≼ ω) → (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)
85		orc 400	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω))
86	84, 85	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑥 ≼ ω) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω))
87	76, 86	jca 554	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑥 ≼ ω) → ((𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑥)) ≼ ω)))
88	87, 74	sylibr 224	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑥 ≼ ω) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆)
89	75, 88	pm2.61dan 832	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐴 ∖ 𝑥) ∈ 𝑆)
90		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑥 ⊆ 𝑆)
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝑆)
92		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
93	91, 92	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑆)
94	42	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴)
95		elpwi 4168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑦 ⊆ 𝐴)
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ⊆ 𝐴)
97	93, 96	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
98	97	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ⊆ 𝐴)
99		unissb 4469	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ⊆ 𝐴)
100	98, 99	sylibr 224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ∪ 𝑥 ⊆ 𝐴)
101		vuniex 6954	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ V
102	101	elpw 4164	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ ∪ 𝑥 ⊆ 𝐴)
103	100, 102	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ∪ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
104	103	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
105		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (𝑥 ≼ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω))
106	105	adantll 750	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (𝑥 ≼ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω))
107		unictb 9397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ≼ ω)
108		orc 400	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑥 ≼ ω → (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
109	106, 107, 108	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
110		rexnal 2995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝑦 ≼ ω ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω)
111	110	bicomi 214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝑦 ≼ ω)
112	111	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝑦 ≼ ω)
113	112	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝑦 ≼ ω)
114		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆
115		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω
116	115	nfn 1784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑦 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω
117	114, 116	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω)
118		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω
119		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑥)
120	119	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑥)
121	120	sscond 3747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑦))
122	93	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → 𝑦 ∈ 𝑆)
123		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → ¬ 𝑦 ≼ ω)
124	73	rabeq2i 3197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω)))
125	124	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω)))
126	125	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω))
127	126	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → (𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω))
128		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → ¬ 𝑦 ≼ ω)
129		pm2.53 388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω) → (¬ 𝑦 ≼ ω → (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω))
130	127, 128, 129	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω)
131	122, 123, 130	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω)
132		ssct 8041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ⊆ (𝐴 ∖ 𝑦) ∧ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)
133	121, 131, 132	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ≼ ω) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)
134	133	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → (𝑦 ∈ 𝑥 → (¬ 𝑦 ≼ ω → (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)))
135	134	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (¬ 𝑦 ≼ ω → (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)))
136	117, 118, 135	rexlimd 3026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (∃𝑦 ∈ 𝑥 ¬ 𝑦 ≼ ω → (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
137	113, 136	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)
138		olc 399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω → (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
139	137, 138	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
140	139	adantlr 751	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ≼ ω) → (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
141	109, 140	pm2.61dan 832	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) → (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
142	104, 141	jca 554	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) → (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)))
143		breq1 4656	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 → (𝑦 ≼ ω ↔ ∪ 𝑥 ≼ ω))
144		difeq2 3722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 → (𝐴 ∖ 𝑦) = (𝐴 ∖ ∪ 𝑥))
145	144	breq1d 4663	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 → ((𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω))
146	143, 145	orbi12d 746	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∪ 𝑥 → ((𝑦 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑦) ≼ ω) ↔ (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)))
147	146, 73	elrab2 3366	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (∪ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (∪ 𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ ∪ 𝑥) ≼ ω)))
148	142, 147	sylibr 224	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆)
149	148	3adant1 1079	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑆)
150	7, 21, 46, 89, 149	issald 40551	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158  {csn 4177  ∪ cuni 4436   class class class wbr 4653  ωcom 7065   ≼ cdom 7953  Fincfn 7955  SAlgcsalg 40528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-salg 40529

This theorem is referenced by:  salexct3  40560  salgencntex  40561  salgensscntex  40562