Theorem salgensscntex 40562

Description: This counterexample shows that the sigma-algebra generated by a set is not the smallest sigma-algebra containing the set, if we consider also sigma-algebras with a larger base set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salgensscntex.a	⊢ 𝐴 = (0[,]2)
salgensscntex.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
salgensscntex.x	⊢ 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
salgensscntex.g	⊢ 𝐺 = (SalGen‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
salgensscntex	⊢ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ SAlg ∧ ¬ 𝐺 ⊆ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem salgensscntex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		salgensscntex.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
2		0re 10040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		2re 11090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	2, 3	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
5	2	leidi 10562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 0
6		1le2 11241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≤ 2
7	5, 6	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)
8		iccss 12241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]2))
9	4, 7, 8	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]1) ⊆ (0[,]2)
10		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
11	9, 10	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]2))
12		salgensscntex.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (0[,]2)
13	11, 12	syl6eleqr 2712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ 𝐴)
14		snelpwi 4912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
16		snfi 8038	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
17		fict 8550	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦} ≼ ω
19		orc 400	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
22	15, 21	jca 554	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
23		breq1 4656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
24		difeq2 3722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
25	24	breq1d 4663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
26	23, 25	orbi12d 746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
27		salgensscntex.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
28	26, 27	elrab2 3366	. . . . . 6 ⊢ ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
29	22, 28	sylibr 224	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝑆)
30	29	rgen 2922	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆
31		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
32	31	rnmptss 6392	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆 → ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆)
33	30, 32	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆
34	1, 33	eqsstri 3635	. 2 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑆
35		ovex 6678	. . . . . 6 ⊢ (0[,]2) ∈ V
36	12, 35	eqeltri 2697	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ V)
38	37, 27	salexct 40552	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
39	38	trud 1493	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ SAlg
40		ovex 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]1) ∈ V
41	40	mptex 6486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ∈ V
42	41	rnex 7100	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ∈ V
43	1, 42	eqeltri 2697	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ V
44	43	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝑋 ∈ V)
45		salgensscntex.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SalGen‘𝑋)
46	1	unieqi 4445	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑋 = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
47		snex 4908	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦} ∈ V
48	47	rgenw 2924	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V
49		dfiun3g 5378	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V → ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}))
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
51	50	eqcomi 2631	. . . . . 6 ⊢ ∪ ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦}
52		iunid 4575	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = (0[,]1)
53	46, 51, 52	3eqtrri 2649	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) = ∪ 𝑋
54	44, 45, 53	unisalgen 40558	. . . 4 ⊢ (⊤ → (0[,]1) ∈ 𝐺)
55	54	trud 1493	. . 3 ⊢ (0[,]1) ∈ 𝐺
56		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (0[,]1) = (0[,]1)
57	12, 27, 56	salexct2 40557	. . 3 ⊢ ¬ (0[,]1) ∈ 𝑆
58		nelss 3664	. . 3 ⊢ (((0[,]1) ∈ 𝐺 ∧ ¬ (0[,]1) ∈ 𝑆) → ¬ 𝐺 ⊆ 𝑆)
59	55, 57, 58	mp2an 708	. 2 ⊢ ¬ 𝐺 ⊆ 𝑆
60	34, 39, 59	3pm3.2i 1239	1 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ SAlg ∧ ¬ 𝐺 ⊆ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483  ⊤wtru 1484   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  {crab 2916  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  𝒫 cpw 4158  {csn 4177  ∪ cuni 4436  ∪ ciun 4520   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ran crn 5115  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ωcom 7065   ≼ cdom 7953  Fincfn 7955  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   ≤ cle 10075  2c2 11070  [,]cicc 12178  SAlgcsalg 40528  SalGencsalgen 40532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-salg 40529  df-salgen 40533

This theorem is referenced by: (None)