Theorem srgpcomppsc 18534

Description: If two elements of a semiring commute, they also commute if the elements are raised to a higher power and a scalar multiplication is involved. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgpcomp.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgpcomp.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgpcomp.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgpcomp.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgpcomp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgpcomp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgpcomp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgpcomp.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
srgpcomp.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgpcompp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
srgpcomppsc.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
srgpcomppsc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
srgpcomppsc	⊢ (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))))

Proof of Theorem srgpcomppsc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgpcomp.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
2		srgpcomppsc.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
3		srgpcomp.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
4	3	srgmgp 18510	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		srgpcompp.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		srgpcomp.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
8		srgpcomp.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
9	3, 8	mgpbas 18495	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
10		srgpcomp.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
11	9, 10	mulgnn0cl 17558	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
12	5, 6, 7, 11	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
13		srgpcomp.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
14		srgpcomp.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
15	9, 10	mulgnn0cl 17558	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
16	5, 13, 14, 15	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
17		srgpcomppsc.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝑅)
18		srgpcomp.m	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑅)
19	8, 17, 18	srgmulgass 18531	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)) → ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)) = (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))))
20	19	eqcomd 2628	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)) → (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) = ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
21	1, 2, 12, 16, 20	syl13anc 1328	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) = ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
22	21	oveq1d 6665	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = (((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴))
23		srgmnd 18509	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
24	1, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
25	8, 17	mulgnn0cl 17558	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆) → (𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) ∈ 𝑆)
26	24, 2, 12, 25	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) ∈ 𝑆)
27	8, 18	srgass 18513	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
28	1, 26, 16, 7, 27	syl13anc 1328	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
29	22, 28	eqtrd 2656	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
30	8, 18	srgcl 18512	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)
31	1, 16, 7, 30	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)
32	8, 17, 18	srgmulgass 18531	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴) ∈ 𝑆)) → ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴))))
33	1, 2, 12, 31, 32	syl13anc 1328	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴))))
34	8, 18	srgass 18513	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
35	1, 12, 16, 7, 34	syl13anc 1328	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)))
36	35	eqcomd 2628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴))
37	36	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴))) = (𝐶 · (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴)))
38	33, 37	eqtrd 2656	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · (𝑁 ↑ 𝐴)) × ((𝐾 ↑ 𝐵) × 𝐴)) = (𝐶 · (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴)))
39		srgpcomp.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
40	8, 18, 3, 10, 1, 7, 14, 13, 39, 6	srgpcompp 18533	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴) = (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)))
41	40	oveq2d 6666	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · (((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵)) × 𝐴)) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))))
42	29, 38, 41	3eqtrd 2660	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · ((𝑁 ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))) × 𝐴) = (𝐶 · (((𝑁 + 1) ↑ 𝐴) × (𝐾 ↑ 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  1c1 9937   + caddc 9939  ℕ₀cn0 11292  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942  Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489  SRingcsrg 18505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mulg 17541  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506

This theorem is referenced by:  srgbinomlem3  18542