Theorem subccatid 16506

Description: A subcategory is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
subccat.1	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
subccat.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
subccatid.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
subccatid.2	⊢ 1 = (Id‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
subccatid	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 ‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥, 1   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆

Proof of Theorem subccatid

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subccat.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		eqid 2622	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		subccat.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
4		subcrcl 16476	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		subccatid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
7	3, 6, 2	subcss1 16502	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
8	1, 2, 5, 6, 7	rescbas 16489	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))
9	1, 2, 5, 6, 7	reschom 16490	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Hom ‘𝐷))
10		eqid 2622	. . 3 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
11	1, 2, 5, 6, 7, 10	rescco 16492	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐶) = (comp‘𝐷))
12		ovex 6678	. . . 4 ⊢ (𝐶 ↾cat 𝐽) ∈ V
13	1, 12	eqeltri 2697	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
15		biid 251	. 2 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ↔ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧))))
16	3	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
17	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
18		simpr 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
19		subccatid.2	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
20	16, 17, 18, 19	subcidcl 16504	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ( 1 ‘𝑥) ∈ (𝑥𝐽𝑥))
21		eqid 2622	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
22	5	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐶 ∈ Cat)
23	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
24		simpr1l 1118	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑤 ∈ 𝑆)
25	23, 24	sseldd 3604	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
26		simpr1r 1119	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
27	23, 26	sseldd 3604	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
28	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
29	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
30	28, 29, 21, 24, 26	subcss2 16503	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑤𝐽𝑥) ⊆ (𝑤(Hom ‘𝐶)𝑥))
31		simpr31 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥))
32	30, 31	sseldd 3604	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑓 ∈ (𝑤(Hom ‘𝐶)𝑥))
33	2, 21, 19, 22, 25, 10, 27, 32	catlid 16344	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (( 1 ‘𝑥)(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑥)𝑓) = 𝑓)
34		simpr2l 1120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑦 ∈ 𝑆)
35	23, 34	sseldd 3604	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
36	28, 29, 21, 26, 34	subcss2 16503	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
37		simpr32 1152	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦))
38	36, 37	sseldd 3604	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑔 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
39	2, 21, 19, 22, 27, 10, 35, 38	catrid 16345	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)( 1 ‘𝑥)) = 𝑔)
40	28, 29, 24, 10, 26, 34, 31, 37	subccocl 16505	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑔(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)𝑓) ∈ (𝑤𝐽𝑦))
41		simpr2r 1121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑧 ∈ 𝑆)
42	23, 41	sseldd 3604	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐶))
43	28, 29, 21, 34, 41	subcss2 16503	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑦𝐽𝑧) ⊆ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧))
44		simpr33 1153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧))
45	43, 44	sseldd 3604	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → ℎ ∈ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧))
46	2, 21, 10, 22, 25, 27, 35, 32, 38, 42, 45	catass 16347	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → ((ℎ(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑔)(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (ℎ(⟨𝑤, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)(𝑔(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)𝑓)))
47	8, 9, 11, 14, 15, 20, 33, 39, 40, 46	iscatd2 16342	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 ‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112   Fn wfn 5883  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  Hom chom 15952  compcco 15953  Catccat 16325  Idccid 16326   ↾_cat cresc 16468  Subcatcsubc 16469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-hom 15966  df-cco 15967  df-cat 16329  df-cid 16330  df-homf 16331  df-ssc 16470  df-resc 16471  df-subc 16472

This theorem is referenced by:  subcid  16507  subccat  16508