Theorem swrdccatin12lem2b 13486

Description: Lemma 2 for swrdccatin12lem2 13489. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdccatin12lem2b	⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^((𝑁 − 𝐿) − 0))))

Proof of Theorem swrdccatin12lem2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 12333	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)))
2		zsubcl 11419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1079	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
4	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
5	1, 4	sylbi 207	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
6	5	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
7		elfzonelfzo 12570	. . 3 ⊢ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
9		elfz2nn0 12431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿))
10		nn0cn 11302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
11		nn0cn 11302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℂ)
12		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → 𝑁 ∈ ℤ)
13		zcn 11382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
14		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ)
15	14	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ)
16	15	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿 − 𝑀) + 0) = (𝐿 − 𝑀))
17	16	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) = ((𝐿 − 𝑀) + 0))
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → (𝐿 − 𝑀) = ((𝐿 − 𝑀) + 0))
19		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝐿 ∈ ℂ)
20		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
22		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
23	19, 21, 22	npncan3d 10428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)) = (𝑁 − 𝑀))
24		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℂ)
25		subid1 10301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℂ → ((𝑁 − 𝐿) − 0) = (𝑁 − 𝐿))
26	25	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℂ → (𝑁 − 𝐿) = ((𝑁 − 𝐿) − 0))
27	24, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝑁 − 𝐿) = ((𝑁 − 𝐿) − 0))
28	27	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → (𝑁 − 𝐿) = ((𝑁 − 𝐿) − 0))
29	28	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)) = ((𝐿 − 𝑀) + ((𝑁 − 𝐿) − 0)))
30	23, 29	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → (𝑁 − 𝑀) = ((𝐿 − 𝑀) + ((𝑁 − 𝐿) − 0)))
31	18, 30	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + ((𝑁 − 𝐿) − 0))))
32	31	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + ((𝑁 − 𝐿) − 0)))))
33	12, 13, 32	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + ((𝑁 − 𝐿) − 0)))))
34	33	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + ((𝑁 − 𝐿) − 0)))))
35	10, 11, 34	syl2an 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + ((𝑁 − 𝐿) − 0)))))
36	35	3adant3 1081	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + ((𝑁 − 𝐿) − 0)))))
37	9, 36	sylbi 207	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + ((𝑁 − 𝐿) − 0)))))
38	37	imp 445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) = (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + ((𝑁 − 𝐿) − 0))))
39	38	eleq2d 2687	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) ↔ 𝐾 ∈ (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + ((𝑁 − 𝐿) − 0)))))
40	39	biimpa 501	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + ((𝑁 − 𝐿) − 0))))
41		0zd 11389	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → 0 ∈ ℤ)
42		elfz2 12333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)))
43		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
44	43	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
45		0zd 11389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
46	44, 45	zsubcld 11487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐿) − 0) ∈ ℤ)
47	46	3adant2 1080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐿) − 0) ∈ ℤ)
48	47	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)) → ((𝑁 − 𝐿) − 0) ∈ ℤ)
49	42, 48	sylbi 207	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → ((𝑁 − 𝐿) − 0) ∈ ℤ)
50	49	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝑁 − 𝐿) − 0) ∈ ℤ)
51	6, 41, 50	3jca 1242	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝐿) − 0) ∈ ℤ))
52	51	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝐿) − 0) ∈ ℤ))
53		fzosubel2 12527	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (((𝐿 − 𝑀) + 0)..^((𝐿 − 𝑀) + ((𝑁 − 𝐿) − 0))) ∧ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 𝐿) − 0) ∈ ℤ)) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^((𝑁 − 𝐿) − 0)))
54	40, 52, 53	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) ∧ 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^((𝑁 − 𝐿) − 0)))
55	54	ex 450	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^((𝑁 − 𝐿) − 0))))
56	8, 55	syld 47	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^((𝑁 − 𝐿) − 0))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936   + caddc 9939   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  swrdccatin12lem2  13489