Theorem tgrpgrplem 36037

Description: Lemma for tgrpgrp 36038. (Contributed by NM, 6-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgrpset.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tgrpset.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tgrpset.g	⊢ 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
tgrp.o	⊢ + = (+g‘𝐺)
tgrp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
tgrpgrplem	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem tgrpgrplem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgrpset.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		tgrpset.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		tgrpset.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((TGrp‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	tgrpbase 36034	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐺) = 𝑇)
6	5	eqcomd 2628	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑇 = (Base‘𝐺))
7		tgrp.o	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → + = (+g‘𝐺))
9	1, 2, 3, 7	tgrpov 36036	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
10	9	3expa 1265	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
11	10	3impb 1260	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
12	1, 2	ltrnco 36007	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑥 ∘ 𝑦) ∈ 𝑇)
13	11, 12	eqeltrd 2701	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑇)
14		coass 5654	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧) = (𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧))
15		simpll 790	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝐾 ∈ HL)
16		simplr 792	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
17		simpr1 1067	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝑥 ∈ 𝑇)
18		simpr2 1068	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝑦 ∈ 𝑇)
19	15, 16, 17, 18, 9	syl112anc 1330	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘ 𝑦))
20	19	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 ∘ 𝑦) + 𝑧))
21		simpl 473	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22	21, 17, 18, 12	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 ∘ 𝑦) ∈ 𝑇)
23		simpr3 1069	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → 𝑧 ∈ 𝑇)
24	1, 2, 3, 7	tgrpov 36036	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ ((𝑥 ∘ 𝑦) ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 ∘ 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧))
25	15, 16, 22, 23, 24	syl112anc 1330	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 ∘ 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧))
26	20, 25	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = ((𝑥 ∘ 𝑦) ∘ 𝑧))
27	1, 2, 3, 7	tgrpov 36036	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 ∘ 𝑧))
28	15, 16, 18, 23, 27	syl112anc 1330	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 ∘ 𝑧))
29	28	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)) = (𝑥 + (𝑦 ∘ 𝑧)))
30	1, 2	ltrnco 36007	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) → (𝑦 ∘ 𝑧) ∈ 𝑇)
31	21, 18, 23, 30	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑦 ∘ 𝑧) ∈ 𝑇)
32	1, 2, 3, 7	tgrpov 36036	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑦 ∘ 𝑧) ∈ 𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 ∘ 𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧)))
33	15, 16, 17, 31, 32	syl112anc 1330	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 ∘ 𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧)))
34	29, 33	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)) = (𝑥 ∘ (𝑦 ∘ 𝑧)))
35	14, 26, 34	3eqtr4a 2682	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
36		tgrp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
37	36, 1, 2	idltrn 35436	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
38		simpll 790	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
39		simplr 792	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑊 ∈ 𝐻)
40	37	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇)
41		simpr 477	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑇)
42	1, 2, 3, 7	tgrpov 36036	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) → (( I ↾ 𝐵) + 𝑥) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥))
43	38, 39, 40, 41, 42	syl112anc 1330	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝐵) + 𝑥) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥))
44	36, 1, 2	ltrn1o 35410	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥:𝐵–1-1-onto→𝐵)
45		f1of 6137	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐵–1-1-onto→𝐵 → 𝑥:𝐵⟶𝐵)
46		fcoi2 6079	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐵⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥) = 𝑥)
47	44, 45, 46	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝑥) = 𝑥)
48	43, 47	eqtrd 2656	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝐵) + 𝑥) = 𝑥)
49	1, 2	ltrncnv 35432	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ◡𝑥 ∈ 𝑇)
50	1, 2, 3, 7	tgrpov 36036	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ (◡𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇)) → (◡𝑥 + 𝑥) = (◡𝑥 ∘ 𝑥))
51	38, 39, 49, 41, 50	syl112anc 1330	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (◡𝑥 + 𝑥) = (◡𝑥 ∘ 𝑥))
52		f1ococnv1 6165	. . . 4 ⊢ (𝑥:𝐵–1-1-onto→𝐵 → (◡𝑥 ∘ 𝑥) = ( I ↾ 𝐵))
53	44, 52	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (◡𝑥 ∘ 𝑥) = ( I ↾ 𝐵))
54	51, 53	eqtrd 2656	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (◡𝑥 + 𝑥) = ( I ↾ 𝐵))
55	6, 8, 13, 35, 37, 48, 49, 54	isgrpd 17444	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   I cid 5023  ^◡ccnv 5113   ↾ cres 5116   ∘ ccom 5118  ⟶wf 5884  –1-1-onto→wf1o 5887  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  Grpcgrp 17422  HLchlt 34637  LHypclh 35270  LTrncltrn 35387  TGrpctgrp 36030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tgrp 36031

This theorem is referenced by:  tgrpgrp  36038