Theorem usgr1e 26137

Description: A simple graph with one edge (with additional assumption that 𝐵 ≠ 𝐶 since otherwise the edge is a loop!). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgr1e.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uspgr1e.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
uspgr1e.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
uspgr1e.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
uspgr1e.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
usgr1e.e	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
usgr1e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph )

Proof of Theorem usgr1e

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgr1e.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		uspgr1e.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		uspgr1e.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		uspgr1e.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
5		uspgr1e.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
6	1, 2, 3, 4, 5	uspgr1e 26136	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph )
7		usgr1e.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
8		hashprg 13182	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ (#‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
9	3, 4, 8	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ (#‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
10	7, 9	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (#‘{𝐵, 𝐶}) = 2)
11		prex 4909	. . . . 5 ⊢ {𝐵, 𝐶} ∈ V
12		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → (#‘𝑥) = (#‘{𝐵, 𝐶}))
13	12	eqeq1d 2624	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → ((#‘𝑥) = 2 ↔ (#‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
14	11, 13	ralsn 4222	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}} (#‘𝑥) = 2 ↔ (#‘{𝐵, 𝐶}) = 2)
15	10, 14	sylibr 224	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}} (#‘𝑥) = 2)
16		edgval 25941	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
18	5	rneqd 5353	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
19		rnsnopg 5614	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
20	2, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
21	17, 18, 20	3eqtrd 2660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐶}})
22	21	raleqdv 3144	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(#‘𝑥) = 2 ↔ ∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}} (#‘𝑥) = 2))
23	15, 22	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(#‘𝑥) = 2)
24		usgruspgrb 26076	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ USPGraph ∧ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(#‘𝑥) = 2))
25	6, 23, 24	sylanbrc 698	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  {csn 4177  {cpr 4179  ⟨cop 4183  ran crn 5115  ‘cfv 5888  2c2 11070  #chash 13117  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Edgcedg 25939   USPGraph cuspgr 26043   USGraph cusgr 26044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-uspgr 26045  df-usgr 26046

This theorem is referenced by:  usgr1eop  26142  1egrvtxdg1  26405  1egrvtxdg0  26407