Theorem uzind 11469

Description: Induction on the upper integers that start at 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 5-Jul-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind.1	⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
uzind.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
uzind.3	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
uzind.4	⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
uzind.5	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind.6	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
uzind	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 11381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 10594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3		uzind.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
4	2, 3	jca 554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝜓))
5	4	ancli 574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝜓)))
6		breq2 4657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑀))
7		uzind.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜑 ↔ 𝜓))
8	6, 7	anbi12d 747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝜓)))
9	8	elrab 3363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝜓)))
10	5, 9	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)})
11		peano2z 11418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 + 1) ∈ ℤ))
13	12	adantrd 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ))
14		zre 11381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
15		ltp1 10861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 < (𝑘 + 1))
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
17		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
18	17	ancli 574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ))
19		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
20	19	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
21	18, 20	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑘 + 1)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
22	16, 21	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑘 → 𝑀 < (𝑘 + 1)))
23		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
24	17, 23	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
25	22, 24	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑘 → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
26	1, 14, 25	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑘 → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
27	26	adantrd 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
28	27	expimpd 629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
29		uzind.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (𝜒 → 𝜃))
30	29	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑘 → (𝜒 → 𝜃))))
31	30	imp4d 618	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → 𝜃))
32	28, 31	jcad 555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
33	13, 32	jcad 555	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)) → ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃))))
34		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑘))
35		uzind.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
36	34, 35	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)))
37	36	elrab 3363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝜒)))
38		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
39		uzind.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
40	38, 39	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
41	40	elrab 3363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ 𝜃)))
42	33, 37, 41	3imtr4g 285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)}))
43	42	ralrimiv 2965	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)})
44		peano5uzti 11467	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} (𝑘 + 1) ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)}) → {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑤} ⊆ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)}))
45	10, 43, 44	mp2and 715	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑤} ⊆ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)})
46	45	sseld 3602	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑤} → 𝑁 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)}))
47		breq2 4657	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑤 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
48	47	elrab 3363	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑤 ∈ ℤ ∣ 𝑀 ≤ 𝑤} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
49		breq2 4657	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
50		uzind.4	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜑 ↔ 𝜏))
51	49, 50	anbi12d 747	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑) ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝜏)))
52	51	elrab 3363	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑗 ∈ ℤ ∣ (𝑀 ≤ 𝑗 ∧ 𝜑)} ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝜏)))
53	46, 48, 52	3imtr3g 284	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝜏))))
54	53	3impib 1262	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝜏)))
55	54	simprrd 797	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  {crab 2916   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075  ℤcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  uzind2  11470  uzind3  11471  nn0ind  11472  fzind  11475  fi1uzind  13279  fi1uzindOLD  13285  algcvga  15292  zindbi  37511