Theorem uzind 11469

Description: Induction on the upper integers that start at M. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 5-Jul-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzind.1	|- ( j = M -> ( ph <-> ps ) )
uzind.2	|- ( j = k -> ( ph <-> ch ) )
uzind.3	|- ( j = ( k + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
uzind.4	|- ( j = N -> ( ph <-> ta ) )
uzind.5	|- ( M e. ZZ -> ps )
uzind.6	|- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k ) -> ( ch -> th ) )

Assertion

Ref	Expression
uzind	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ta )

Distinct variable groups:   j, N   ps, j   ch, j   th, j   ta, j   ph, k   j, k, M

Allowed substitution hints:   ph( j)   ps( k)   ch( k)   th( k)   ta( k)   N( k)

Proof of Theorem uzind

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 11381	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 10594	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3		uzind.5	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ps )
4	2, 3	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( M <_ M /\ ps ) )
5	4	ancli 574	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ ( M <_ M /\ ps ) ) )
6		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( j = M -> ( M <_ j <-> M <_ M ) )
7		uzind.1	. . . . . . . . 9 |- ( j = M -> ( ph <-> ps ) )
8	6, 7	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( j = M -> ( ( M <_ j /\ ph ) <-> ( M <_ M /\ ps ) ) )
9	8	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( M e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } <-> ( M e. ZZ /\ ( M <_ M /\ ps ) ) )
10	5, 9	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } )
11		peano2z 11418	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ZZ -> ( k + 1 ) e. ZZ )
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( k e. ZZ -> ( k + 1 ) e. ZZ ) )
13	12	adantrd 484	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ ) )
14		zre 11381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
15		ltp1 10861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. RR -> k < ( k + 1 ) )
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR ) -> k < ( k + 1 ) )
17		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. RR -> ( k + 1 ) e. RR )
18	17	ancli 574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. RR -> ( k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) )
19		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) -> ( ( M <_ k /\ k < ( k + 1 ) ) -> M < ( k + 1 ) ) )
20	19	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. RR /\ ( k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) ) -> ( ( M <_ k /\ k < ( k + 1 ) ) -> M < ( k + 1 ) ) )
21	18, 20	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( M <_ k /\ k < ( k + 1 ) ) -> M < ( k + 1 ) ) )
22	16, 21	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR ) -> ( M <_ k -> M < ( k + 1 ) ) )
23		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR ) -> ( M < ( k + 1 ) -> M <_ ( k + 1 ) ) )
24	17, 23	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR ) -> ( M < ( k + 1 ) -> M <_ ( k + 1 ) ) )
25	22, 24	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. RR /\ k e. RR ) -> ( M <_ k -> M <_ ( k + 1 ) ) )
26	1, 14, 25	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( M <_ k -> M <_ ( k + 1 ) ) )
27	26	adantrd 484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( M <_ k /\ ch ) -> M <_ ( k + 1 ) ) )
28	27	expimpd 629	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) -> M <_ ( k + 1 ) ) )
29		uzind.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ k e. ZZ /\ M <_ k ) -> ( ch -> th ) )
30	29	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( k e. ZZ -> ( M <_ k -> ( ch -> th ) ) ) )
31	30	imp4d 618	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) -> th ) )
32	28, 31	jcad 555	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) -> ( M <_ ( k + 1 ) /\ th ) ) )
33	13, 32	jcad 555	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) -> ( ( k + 1 ) e. ZZ /\ ( M <_ ( k + 1 ) /\ th ) ) ) )
34		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( M <_ j <-> M <_ k ) )
35		uzind.2	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( ph <-> ch ) )
36	34, 35	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( ( M <_ j /\ ph ) <-> ( M <_ k /\ ch ) ) )
37	36	elrab 3363	. . . . . . . 8 |- ( k e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } <-> ( k e. ZZ /\ ( M <_ k /\ ch ) ) )
38		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( M <_ j <-> M <_ ( k + 1 ) ) )
39		uzind.3	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ph <-> th ) )
40	38, 39	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( M <_ j /\ ph ) <-> ( M <_ ( k + 1 ) /\ th ) ) )
41	40	elrab 3363	. . . . . . . 8 |- ( ( k + 1 ) e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } <-> ( ( k + 1 ) e. ZZ /\ ( M <_ ( k + 1 ) /\ th ) ) )
42	33, 37, 41	3imtr4g 285	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> ( k e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } -> ( k + 1 ) e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ) )
43	42	ralrimiv 2965	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> A. k e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ( k + 1 ) e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } )
44		peano5uzti 11467	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( ( M e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } /\ A. k e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ( k + 1 ) e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ) -> { w e. ZZ | M <_ w } C_ { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ) )
45	10, 43, 44	mp2and 715	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> { w e. ZZ | M <_ w } C_ { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } )
46	45	sseld 3602	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( N e. { w e. ZZ | M <_ w } -> N e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } ) )
47		breq2 4657	. . . . 5 |- ( w = N -> ( M <_ w <-> M <_ N ) )
48	47	elrab 3363	. . . 4 |- ( N e. { w e. ZZ | M <_ w } <-> ( N e. ZZ /\ M <_ N ) )
49		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( M <_ j <-> M <_ N ) )
50		uzind.4	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( ph <-> ta ) )
51	49, 50	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( j = N -> ( ( M <_ j /\ ph ) <-> ( M <_ N /\ ta ) ) )
52	51	elrab 3363	. . . 4 |- ( N e. { j e. ZZ | ( M <_ j /\ ph ) } <-> ( N e. ZZ /\ ( M <_ N /\ ta ) ) )
53	46, 48, 52	3imtr3g 284	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N e. ZZ /\ ( M <_ N /\ ta ) ) ) )
54	53	3impib 1262	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N e. ZZ /\ ( M <_ N /\ ta ) ) )
55	54	simprrd 797	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ta )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  uzind2  11470  uzind3  11471  nn0ind  11472  fzind  11475  fi1uzind  13279  fi1uzindOLD  13285  algcvga  15292  zindbi  37511