Theorem algcvga 15292

Description: The countdown function 𝐶 remains 0 after 𝑁 steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
algcvga.1	⊢ 𝐹:𝑆⟶𝑆
algcvga.2	⊢ 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
algcvga.3	⊢ 𝐶:𝑆⟶ℕ0
algcvga.4	⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑧)) < (𝐶‘𝑧)))
algcvga.5	⊢ 𝑁 = (𝐶‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
algcvga	⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑧,𝐹   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem algcvga

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algcvga.5	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐶‘𝐴)
2		algcvga.3	. . . 4 ⊢ 𝐶:𝑆⟶ℕ0
3	2	ffvelrni 6358	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘𝐴) ∈ ℕ0)
4	1, 3	syl5eqel 2705	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		nn0z 11400	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		eluz1 11691	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝐾)))
7		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑁))
8	7	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = (𝐶‘(𝑅‘𝑁)))
9	8	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅‘𝑁)) = 0))
10	9	imbi2d 330	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑁)) = 0)))
11		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝑘))
12	11	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = (𝐶‘(𝑅‘𝑘)))
13	12	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0))
14	13	imbi2d 330	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0)))
15		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑅‘𝑚) = (𝑅‘(𝑘 + 1)))
16	15	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))))
17	16	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0))
18	17	imbi2d 330	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝑅‘𝑚) = (𝑅‘𝐾))
20	19	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = (𝐶‘(𝑅‘𝐾)))
21	20	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0 ↔ (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0))
22	21	imbi2d 330	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝐾 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑚)) = 0) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0)))
23		algcvga.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹:𝑆⟶𝑆
24		algcvga.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = seq0((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ0 × {𝐴}))
25		algcvga.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑧)) < (𝐶‘𝑧)))
26	23, 24, 2, 25, 1	algcvg 15289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑁)) = 0)
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑁)) = 0))
28		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 0 ≤ 𝑁)
30		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
31		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
32		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
33		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 0 ≤ 𝑘))
34	32, 33	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 0 ≤ 𝑘))
35	30, 31, 34	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → 0 ≤ 𝑘))
36	29, 35	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑘 → 0 ≤ 𝑘))
37		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
38	37	simplbi2 655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ ℕ0))
39	38	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ ℕ0))
40	36, 39	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ ℕ0))
41	4, 40	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑘 → 𝑘 ∈ ℕ0))
42	41	impr 649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
43	42	expcom 451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑘 ∈ ℕ0))
44	43	3adant1 1079	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑘 ∈ ℕ0))
45	44	ancld 576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)))
46		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
47		0zd 11389	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 0 ∈ ℤ)
48		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐴 ∈ 𝑆)
49	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝐹:𝑆⟶𝑆)
50	46, 24, 47, 48, 49	algrf 15286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝑅:ℕ0⟶𝑆)
51	50	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆)
52		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘(𝑅‘𝑘)))
53	52	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → (𝐶‘(𝐹‘𝑧)) = (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))))
54	53	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → ((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) ≠ 0 ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) ≠ 0))
55		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → (𝐶‘𝑧) = (𝐶‘(𝑅‘𝑘)))
56	53, 55	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → ((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) < (𝐶‘𝑧) ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))))
57	54, 56	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = (𝑅‘𝑘) → (((𝐶‘(𝐹‘𝑧)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘𝑧)) < (𝐶‘𝑧)) ↔ ((𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘)))))
58	57, 25	vtoclga 3272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))))
59	23, 2	algcvgb 15291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆 → (((𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))) ↔ (((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))) ∧ ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0))))
60		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))) ∧ ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0)) → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0))
61	59, 60	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆 → (((𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) ≠ 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) < (𝐶‘(𝑅‘𝑘))) → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0)))
62	58, 61	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅‘𝑘) ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0))
63	51, 62	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0))
64	46, 24, 47, 48, 49	algrp1 15287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑅‘𝑘)))
65	64	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))))
66	65	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0 ↔ (𝐶‘(𝐹‘(𝑅‘𝑘))) = 0))
67	63, 66	sylibrd 249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0))
68	45, 67	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → (𝐴 ∈ 𝑆 → ((𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
69	68	a2d 29	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) → ((𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝑘)) = 0) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘(𝑘 + 1))) = 0)))
70	10, 14, 18, 22, 27, 69	uzind 11469	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝐾) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0))
71	70	3expib 1268	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝐾) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0)))
72	6, 71	sylbid 230	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0)))
73	5, 72	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0)))
74	73	com3r 87	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0)))
75	4, 74	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐶‘(𝑅‘𝐾)) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  {csn 4177   class class class wbr 4653   × cxp 5112   ∘ ccom 5118  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  1^st c1st 7166  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  seqcseq 12801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802

This theorem is referenced by:  algfx  15293  eucalgcvga  15299