Theorem wlkreslem 26566

Description: Lemma for wlkres 26567. (Contributed by AV, 5-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkres.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkres.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkres.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
wlkres.s	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
wlkres.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
wlkres.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁))
wlkres.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
wlkreslem	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))

Proof of Theorem wlkreslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1 6	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝜑 → 𝑆 ∈ V))
2		df-nel 2898	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∉ V ↔ ¬ 𝑆 ∈ V)
3		wlkres.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4		df-br 4654	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
5		ne0i 3921	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (Walks‘𝐺) ≠ ∅)
6		wlkres.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
7		wlkres.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	6, 7	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺))
9	8	anim1i 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∉ V) → ((Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑆 ∉ V))
10	9	ancomd 467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∉ V) → (𝑆 ∉ V ∧ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺)))
11		wlk0prc 26550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∉ V ∧ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺)) → (Walks‘𝐺) = ∅)
12		eqneqall 2805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Walks‘𝐺) = ∅ → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V))
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∉ V) → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V))
14	13	expcom 451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∉ V → (𝜑 → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V)))
15	14	com13 88	. . . . . . . 8 ⊢ ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
16	5, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
17	4, 16	sylbi 207	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
18	3, 17	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V))
19	18	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∉ V → (𝜑 → 𝑆 ∈ V))
20	2, 19	sylbir 225	. . 3 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝜑 → 𝑆 ∈ V))
21	1, 20	pm2.61i 176	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
22		wlkres.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁))
23		wlkres.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
24	23	wlkf 26510	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
25		wrdf 13310	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐼)
26	25	ffund 6049	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → Fun 𝐹)
27	3, 24, 26	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
28		ovex 6678	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
29		resfunexg 6479	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (0..^𝑁) ∈ V) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ V)
30	27, 28, 29	sylancl 694	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ V)
31	22, 30	syl5eqel 2705	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
32		wlkres.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
33	7	wlkp 26512	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
34		ffun 6048	. . . . 5 ⊢ (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → Fun 𝑃)
35	3, 33, 34	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑃)
36		ovex 6678	. . . 4 ⊢ (0...𝑁) ∈ V
37		resfunexg 6479	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝑃 ∧ (0...𝑁) ∈ V) → (𝑃 ↾ (0...𝑁)) ∈ V)
38	35, 36, 37	sylancl 694	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↾ (0...𝑁)) ∈ V)
39	32, 38	syl5eqel 2705	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ V)
40	21, 31, 39	3jca 1242	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   ∉ wnel 2897  Vcvv 3200  ∅c0 3915  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653  dom cdm 5114   ↾ cres 5116   “ cima 5117  Fun wfun 5882  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Walkscwlks 26492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-wlks 26495

This theorem is referenced by:  wlkres  26567