Theorem nnzd 8468

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnzd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnzd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nnzd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 8341	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 8467	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1433  ℕcn 8039  ℤcz 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352

This theorem is referenced by:  qapne  8724  qtri3or  9252  qbtwnzlemstep  9257  modifeq2int  9388  modsumfzodifsn  9398  addmodlteq  9400  expnegap0  9484  expaddzaplem  9519  expmulzap  9522  facndiv  9666  bcval  9676  ibcval5  9690  bcpasc  9693  caucvgre  9867  cvg1nlemcau  9870  cvg1nlemres  9871  resqrexlemdecn  9898  resqrexlemnmsq  9903  resqrexlemnm  9904  resqrexlemcvg  9905  resqrexlemoverl  9907  dvdsle  10244  fzm1ndvds  10256  dvdsfac  10260  dvdsmod  10262  divalglemeunn  10321  gcddvds  10355  gcdnncl  10359  gcd1  10378  bezoutlemnewy  10385  bezoutlemstep  10386  mulgcd  10405  gcdmultiplez  10410  rplpwr  10416  rppwr  10417  sqgcd  10418  dvdssq  10420  lcmneg  10456  lcmgcdlem  10459  ncoprmgcdne1b  10471  rpdvds  10481  congr  10482  cncongr1  10485  cncongr2  10486  prmz  10493  prmind2  10502  divgcdodd  10522  isprm6  10526  prmexpb  10530  prmfac1  10531  rpexp  10532  sqrt2irrlem  10540  pw2dvdslemn  10543  pw2dvdseulemle  10545  oddpwdclemxy  10547  oddpwdclemodd  10550  sqpweven  10553  2sqpwodd  10554  sqrt2irraplemnn  10557