Theorem iseqid 9467

Description: Discard the first few terms of a sequence that starts with all zeroes (or whatever the identity 𝑍 is for operation +). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqid.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
iseqid.2	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑆)
iseqid.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
iseqid.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝑆)
iseqid.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
iseqid.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
iseqid.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqid.cl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
iseqid	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹, 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iseqid

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 8628	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		iseqid.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		simpr 108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
6	1	adantr 270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		uztrn 8635	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8	5, 6, 7	syl2anc 403	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9		iseqid.f	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
10	8, 9	syldan 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
11		iseqid.cl	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
12	3, 4, 10, 11	iseq1 9442	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑁( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
13		iseqeq1 9434	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → seq𝑁( + , 𝐹, 𝑆) = seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆))
14	13	fveq1d 5200	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑁( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁))
15	14	eqeq1d 2089	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → ((seq𝑁( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁)))
16	12, 15	syl5ibcom 153	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁)))
17		eluzel2 8624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
18	1, 17	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
19	18	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
20		simpr 108	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
21	4	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑆 ∈ 𝑉)
22	9	adantlr 460	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
23	11	adantlr 460	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
24	19, 20, 21, 22, 23	iseqm1 9447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)))
25		iseqid.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑆)
26		iseqid.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
27	26	ralrimiva 2434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
28		oveq2 5540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + 𝑍))
29		id 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → 𝑥 = 𝑍)
30	28, 29	eqeq12d 2095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍))
31	30	rspcv 2697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍))
32	25, 27, 31	sylc 61	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
33	32	adantr 270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
34		eluzp1m1 8642	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
35	18, 34	sylan 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
36		iseqid.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
37	36	adantlr 460	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
38	25	adantr 270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑍 ∈ 𝑆)
39	33, 35, 37, 38, 21, 22, 23	iseqid3s 9466	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑁 − 1)) = 𝑍)
40	39	oveq1d 5547	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)) = (𝑍 + (𝐹‘𝑁)))
41		iseqid.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝑆)
42	41	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐹‘𝑁) ∈ 𝑆)
43	27	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥)
44		oveq2 5540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑁) → (𝑍 + 𝑥) = (𝑍 + (𝐹‘𝑁)))
45		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑁) → 𝑥 = (𝐹‘𝑁))
46	44, 45	eqeq12d 2095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑁) → ((𝑍 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑍 + (𝐹‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁)))
47	46	rspcv 2697	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑁) ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑍 + 𝑥) = 𝑥 → (𝑍 + (𝐹‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁)))
48	42, 43, 47	sylc 61	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑍 + (𝐹‘𝑁)) = (𝐹‘𝑁))
49	24, 40, 48	3eqtrd 2117	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
50	49	ex 113	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁)))
51		uzp1 8652	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
52	1, 51	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
53	16, 50, 52	mpjaod 670	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (𝐹‘𝑁))
54		eqidd 2082	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
55	1, 53, 4, 9, 10, 11, 54	iseqfeq2 9449	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ≥‘𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹, 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∨ wo 661   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348   ↾ cres 4365  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  1c1 6982   + caddc 6984   − cmin 7279  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619  ...cfz 9029  seqcseq 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030  df-fzo 9153  df-iseq 9432

This theorem is referenced by: (None)