Theorem iseqm1 9447

Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqm1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iseqm1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
iseqm1.ex	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
iseqm1.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqm1.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
iseqm1	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iseqm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqm1.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		iseqm1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
3		eluzp1m1 8642	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	1, 2, 3	syl2anc 403	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		iseqm1.ex	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
6		iseqm1.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
7		iseqm1.pl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
8	4, 5, 6, 7	iseqp1 9445	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘((𝑁 − 1) + 1))))
9		eluzelcn 8630	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → 𝑁 ∈ ℂ)
10		ax-1cn 7069	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		npcan 7317	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
12	9, 10, 11	sylancl 404	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
13	2, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
14	13	fveq2d 5202	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘((𝑁 − 1) + 1)) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁))
15	13	fveq2d 5202	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐹‘𝑁))
16	15	oveq2d 5548	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘((𝑁 − 1) + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)))
17	8, 14, 16	3eqtr3d 2121	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  1c1 6982   + caddc 6984   − cmin 7279  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619  seqcseq 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-iseq 9432

This theorem is referenced by:  iseqid  9467  iseqz  9469  bcn2  9691  serif0  10189