MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmpi Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem ltmpi 9726
Description: Ordering property of multiplication for positive integers. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltmpi |- ( C e. N. -> ( A <N B <-> ( C .N A ) <N ( C .N B ) ) )
Proof of Theorem ltmpi
StepHypRef Expression
1 dmmulpi 9713 . 2 |- dom .N = ( N. X. N. )
2 ltrelpi 9711 . 2 |- <N C_ ( N. X. N. )
3 0npi 9704 . 2 |- -. (/) e. N.
4 pinn 9700 . . . . . 6 |- ( A e. N. -> A e. om )
5 pinn 9700 . . . . . 6 |- ( B e. N. -> B e. om )
6 elni2 9699 . . . . . . 7 |- ( C e. N. <-> ( C e. om /\ (/) e. C ) )
7 iba 524 . . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. C -> ( A e. B <-> ( A e. B /\ (/) e. C ) ) )
8 nnmord 7712 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
97, 8sylan9bbr 737 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
1093exp1 1283 . . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) )
1110imp4b 613 . . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( C e. om /\ (/) e. C ) -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
126, 11syl5bi 232 . . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( C e. N. -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
134, 5, 12syl2an 494 . . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( C e. N. -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
1413imp 445 . . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
15 ltpiord 9709 . . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
1615adantr 481 . . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
17 mulclpi 9715 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. N. /\ A e. N. ) -> ( C .N A ) e. N. )
18 mulclpi 9715 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. N. /\ B e. N. ) -> ( C .N B ) e. N. )
19 ltpiord 9709 . . . . . . . 8 |- ( ( ( C .N A ) e. N. /\ ( C .N B ) e. N. ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .N A ) e. ( C .N B ) ) )
2017, 18, 19syl2an 494 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .N A ) e. ( C .N B ) ) )
21 mulpiord 9707 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. N. /\ A e. N. ) -> ( C .N A ) = ( C .o A ) )
2221adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( C .N A ) = ( C .o A ) )
23 mulpiord 9707 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. N. /\ B e. N. ) -> ( C .N B ) = ( C .o B ) )
2423adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( C .N B ) = ( C .o B ) )
2522, 24eleq12d 2695 . . . . . . 7 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) e. ( C .N B ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
2620, 25bitrd 268 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
2726anandis 873 . . . . 5 |- ( ( C e. N. /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
2827ancoms 469 . . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
2914, 16, 283bitr4d 300 . . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> ( C .N A ) <N ( C .N B ) ) )
30293impa 1259 . 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> ( C .N A ) <N ( C .N B ) ) )
311, 2, 3, 30ndmovord 6824 1 |- ( C e. N. -> ( A <N B <-> ( C .N A ) <N ( C .N B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   (/)c0 3915   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   omcom 7065   .o comu 7558   N.cnpi 9666   .N cmi 9668   <N clti 9669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-ni 9694  df-mi 9696  df-lti 9697
This theorem is referenced by:  ltsonq  9791  lterpq  9792  ltanq  9793  ltmnq  9794  archnq  9802
  Copyright terms: Public domain W3C validator