Theorem 4t3lem 11631

Description: Lemma for 4t3e12 11632 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
4t3lem.1	|- A e. NN0
4t3lem.2	|- B e. NN0
4t3lem.3	|- C = ( B + 1 )
4t3lem.4	|- ( A x. B ) = D
4t3lem.5	|- ( D + A ) = E

Assertion

Ref	Expression
4t3lem	|- ( A x. C ) = E

Proof of Theorem 4t3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4t3lem.3	. . 3 |- C = ( B + 1 )
2	1	oveq2i 6661	. 2 |- ( A x. C ) = ( A x. ( B + 1 ) )
3		4t3lem.1	. . . . . 6 |- A e. NN0
4	3	nn0cni 11304	. . . . 5 |- A e. CC
5		4t3lem.2	. . . . . 6 |- B e. NN0
6	5	nn0cni 11304	. . . . 5 |- B e. CC
7		ax-1cn 9994	. . . . 5 |- 1 e. CC
8	4, 6, 7	adddii 10050	. . . 4 |- ( A x. ( B + 1 ) ) = ( ( A x. B ) + ( A x. 1 ) )
9		4t3lem.4	. . . . 5 |- ( A x. B ) = D
10	4	mulid1i 10042	. . . . 5 |- ( A x. 1 ) = A
11	9, 10	oveq12i 6662	. . . 4 |- ( ( A x. B ) + ( A x. 1 ) ) = ( D + A )
12	8, 11	eqtri 2644	. . 3 |- ( A x. ( B + 1 ) ) = ( D + A )
13		4t3lem.5	. . 3 |- ( D + A ) = E
14	12, 13	eqtri 2644	. 2 |- ( A x. ( B + 1 ) ) = E
15	2, 14	eqtri 2644	1 |- ( A x. C ) = E

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   NN0cn0 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021  df-n0 11293

This theorem is referenced by:  4t3e12  11632  4t4e16  11633  5t2e10  11634  5t3e15  11635  5t3e15OLD  11636  5t4e20  11637  5t4e20OLD  11638  5t5e25  11639  5t5e25OLD  11640  6t3e18  11642  6t4e24  11643  6t5e30  11644  6t5e30OLD  11645  6t6e36  11646  6t6e36OLD  11647  7t3e21  11649  7t4e28  11650  7t5e35  11651  7t6e42  11652  7t7e49  11653  8t3e24  11655  8t4e32  11656  8t5e40  11657  8t5e40OLD  11658  8t6e48  11659  8t6e48OLD  11660  8t7e56  11661  8t8e64  11662  9t3e27  11664  9t4e36  11665  9t5e45  11666  9t6e54  11667  9t7e63  11668  9t8e72  11669  9t9e81  11670