Theorem axcc 9280

Description: Although CC can be proven trivially using ac5 9299, we prove it here using DC. (New usage is discouraged.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
axcc	|- ( x ~~ om -> E. f A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )

Distinct variable group:   x, f, z

Proof of Theorem axcc

Dummy variables t u v w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. 2 |- ( x \ { (/) } ) = ( x \ { (/) } )
2		eqid 2622	. 2 |- ( t e. om , y e. U. ( x \ { (/) } ) |-> ( v ` t ) ) = ( t e. om , y e. U. ( x \ { (/) } ) |-> ( v ` t ) )
3		eqid 2622	. 2 |- ( w e. ( x \ { (/) } ) |-> ( u ` suc ( `' v ` w ) ) ) = ( w e. ( x \ { (/) } ) |-> ( u ` suc ( `' v ` w ) ) )
4	1, 2, 3	axcclem 9279	1 |- ( x ~~ om -> E. f A. z e. x ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   suc csuc 5725   ` cfv 5888   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   ~~ cen 7952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-dc 9268

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959

This theorem is referenced by: (None)