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Theorem sstotbnd2 33573
Description: Condition for a subset of a metric space to be totally bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sstotbnd.2 |- N = ( M |` ( Y X. Y ) )
Assertion
Ref Expression
sstotbnd2 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( N e. ( TotBnd ` Y ) <-> A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) ) )
Distinct variable groups:   v, d, x, M   X, d, v, x   N, d, v, x   Y, d, v, x
Proof of Theorem sstotbnd2
Dummy variables c f w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstotbnd.2 . . . . 5 |- N = ( M |` ( Y X. Y ) )
2 metres2 22168 . . . . 5 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( M |` ( Y X. Y ) ) e. ( Met ` Y ) )
31, 2syl5eqel 2705 . . . 4 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> N e. ( Met ` Y ) )
4 istotbnd3 33570 . . . . 5 |- ( N e. ( TotBnd ` Y ) <-> ( N e. ( Met ` Y ) /\ A. d e. RR+ E. v e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) )
54baib 944 . . . 4 |- ( N e. ( Met ` Y ) -> ( N e. ( TotBnd ` Y ) <-> A. d e. RR+ E. v e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) )
63, 5syl 17 . . 3 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( N e. ( TotBnd ` Y ) <-> A. d e. RR+ E. v e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) )
7 simpllr 799 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) ) -> Y C_ X )
8 sspwb 4917 . . . . . . . . . 10 |- ( Y C_ X <-> ~P Y C_ ~P X )
97, 8sylib 208 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) ) -> ~P Y C_ ~P X )
10 ssrin 3838 . . . . . . . . 9 |- ( ~P Y C_ ~P X -> ( ~P Y i^i Fin ) C_ ( ~P X i^i Fin ) )
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) ) -> ( ~P Y i^i Fin ) C_ ( ~P X i^i Fin ) )
12 simprl 794 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) ) -> v e. ( ~P Y i^i Fin ) )
1311, 12sseldd 3604 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) ) -> v e. ( ~P X i^i Fin ) )
14 simprr 796 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) ) -> U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y )
15 metxmet 22139 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ( Met ` X ) -> M e. ( *Met ` X ) )
1615ad4antr 768 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) /\ x e. v ) -> M e. ( *Met ` X ) )
17 elfpw 8268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) <-> ( v C_ Y /\ v e. Fin ) )
1817simplbi 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) -> v C_ Y )
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) -> v C_ Y )
2019sselda 3603 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) /\ x e. v ) -> x e. Y )
21 simp-4r 807 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) /\ x e. v ) -> Y C_ X )
22 sseqin2 3817 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Y C_ X <-> ( X i^i Y ) = Y )
2321, 22sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) /\ x e. v ) -> ( X i^i Y ) = Y )
2420, 23eleqtrrd 2704 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) /\ x e. v ) -> x e. ( X i^i Y ) )
25 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) /\ x e. v ) -> d e. RR+ )
2625rpxrd 11873 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) /\ x e. v ) -> d e. RR* )
271blres 22236 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ x e. ( X i^i Y ) /\ d e. RR* ) -> ( x ( ball ` N ) d ) = ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) )
2816, 24, 26, 27syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) /\ x e. v ) -> ( x ( ball ` N ) d ) = ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) )
29 inss1 3833 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x ( ball ` M ) d ) i^i Y ) C_ ( x ( ball ` M ) d )
3028, 29syl6eqss 3655 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) /\ x e. v ) -> ( x ( ball ` N ) d ) C_ ( x ( ball ` M ) d ) )
3130ralrimiva 2966 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) -> A. x e. v ( x ( ball ` N ) d ) C_ ( x ( ball ` M ) d ) )
32 ss2iun 4536 . . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. v ( x ( ball ` N ) d ) C_ ( x ( ball ` M ) d ) -> U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ v e. ( ~P Y i^i Fin ) ) -> U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) )
3433adantrr 753 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) ) -> U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) )
3514, 34eqsstr3d 3640 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) ) -> Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) )
3613, 35jca 554 . . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) ) -> ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) ) )
3736ex 450 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) -> ( ( v e. ( ~P Y i^i Fin ) /\ U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y ) -> ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) ) ) )
3837reximdv2 3014 . . . 4 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ d e. RR+ ) -> ( E. v e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y -> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) ) )
3938ralimdva 2962 . . 3 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( A. d e. RR+ E. v e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. v ( x ( ball ` N ) d ) = Y -> A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) ) )
406, 39sylbid 230 . 2 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( N e. ( TotBnd ` Y ) -> A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) ) )
41 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) -> c e. RR+ )
4241rphalfcld 11884 . . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) -> ( c / 2 ) e. RR+ )
43 oveq2 6658 . . . . . . . . . 10 |- ( d = ( c / 2 ) -> ( x ( ball ` M ) d ) = ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
4443iuneq2d 4547 . . . . . . . . 9 |- ( d = ( c / 2 ) -> U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) = U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
4544sseq2d 3633 . . . . . . . 8 |- ( d = ( c / 2 ) -> ( Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) <-> Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
4645rexbidv 3052 . . . . . . 7 |- ( d = ( c / 2 ) -> ( E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) <-> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
4746rspcv 3305 . . . . . 6 |- ( ( c / 2 ) e. RR+ -> ( A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) -> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
4842, 47syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) -> ( A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) -> E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
49 elfpw 8268 . . . . . . . . . . 11 |- ( v e. ( ~P X i^i Fin ) <-> ( v C_ X /\ v e. Fin ) )
5049simprbi 480 . . . . . . . . . 10 |- ( v e. ( ~P X i^i Fin ) -> v e. Fin )
5150ad2antrl 764 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> v e. Fin )
52 ssrab2 3687 . . . . . . . . 9 |- { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } C_ v
53 ssfi 8180 . . . . . . . . 9 |- ( ( v e. Fin /\ { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } C_ v ) -> { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin )
5451, 52, 53sylancl 694 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin )
55 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) = ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
5655ineq1d 3813 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) = ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) )
57 incom 3805 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) = ( Y i^i ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
5856, 57syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) = ( Y i^i ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
59 dfin5 3582 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Y i^i ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) = { z e. Y | z e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) }
6058, 59syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) = { z e. Y | z e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) } )
6160neeq1d 2853 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) <-> { z e. Y | z e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) } =/= (/) ) )
62 rabn0 3958 . . . . . . . . . . . 12 |- ( { z e. Y | z e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) } =/= (/) <-> E. z e. Y z e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
6361, 62syl6bb 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) <-> E. z e. Y z e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
6463elrab 3363 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } <-> ( y e. v /\ E. z e. Y z e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
6564simprbi 480 . . . . . . . . 9 |- ( y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } -> E. z e. Y z e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
6665rgen 2922 . . . . . . . 8 |- A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } E. z e. Y z e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) )
67 eleq1 2689 . . . . . . . . 9 |- ( z = ( f ` y ) -> ( z e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) <-> ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
6867ac6sfi 8204 . . . . . . . 8 |- ( ( { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } e. Fin /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } E. z e. Y z e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) -> E. f ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
6954, 66, 68sylancl 694 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> E. f ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
70 fdm 6051 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y -> dom f = { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } )
7170ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. Fin /\ ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> dom f = { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } )
7271, 52syl6eqss 3655 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. Fin /\ ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> dom f C_ v )
73 simprl 794 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. Fin /\ ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y )
7471feq2d 6031 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. Fin /\ ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( f : dom f --> Y <-> f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y ) )
7573, 74mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. Fin /\ ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> f : dom f --> Y )
76 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. Fin /\ ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
77 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y -> f Fn { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } )
78 elpreima 6337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f Fn { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } -> ( y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) <-> ( y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } /\ ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) )
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y -> ( y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) <-> ( y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } /\ ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) )
8079baibd 948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ) -> ( y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) <-> ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
8180ralbidva 2985 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y -> ( A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) <-> A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
8281ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. Fin /\ ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) <-> A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
8376, 82mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. Fin /\ ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
84 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> y = x )
85 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = x -> ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) = ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
8685imaeq2d 5466 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) = ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
8784, 86eleq12d 2695 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) <-> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) )
8887ralrab2 3372 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) <-> A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) )
8983, 88sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. Fin /\ ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) )
9072, 75, 893jca 1242 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. Fin /\ ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) )
9190ex 450 . . . . . . . . . 10 |- ( v e. Fin -> ( ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) -> ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) )
9251, 91syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) -> ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) )
93 simpr2 1068 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> f : dom f --> Y )
94 frn 6053 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : dom f --> Y -> ran f C_ Y )
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> ran f C_ Y )
96 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : dom f --> Y -> f Fn dom f )
9793, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> f Fn dom f )
9851adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> v e. Fin )
99 simpr1 1067 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> dom f C_ v )
100 ssfi 8180 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. Fin /\ dom f C_ v ) -> dom f e. Fin )
10198, 99, 100syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> dom f e. Fin )
102 fnfi 8238 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f Fn dom f /\ dom f e. Fin ) -> f e. Fin )
10397, 101, 102syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> f e. Fin )
104 rnfi 8249 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. Fin -> ran f e. Fin )
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> ran f e. Fin )
106 elfpw 8268 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ran f e. ( ~P Y i^i Fin ) <-> ( ran f C_ Y /\ ran f e. Fin ) )
10795, 105, 106sylanbrc 698 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> ran f e. ( ~P Y i^i Fin ) )
108 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( x ( ball ` N ) c ) = ( z ( ball ` N ) c ) )
109108cbviunv 4559 . . . . . . . . . . . 12 |- U_ x e. ran f ( x ( ball ` N ) c ) = U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c )
1103ad4antr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ z e. ran f ) -> N e. ( Met ` Y ) )
111 metxmet 22139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( Met ` Y ) -> N e. ( *Met ` Y ) )
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ z e. ran f ) -> N e. ( *Met ` Y ) )
11395sselda 3603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ z e. ran f ) -> z e. Y )
114 rpxr 11840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c e. RR+ -> c e. RR* )
115114ad4antlr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ z e. ran f ) -> c e. RR* )
116 blssm 22223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ( *Met ` Y ) /\ z e. Y /\ c e. RR* ) -> ( z ( ball ` N ) c ) C_ Y )
117112, 113, 115, 116syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ z e. ran f ) -> ( z ( ball ` N ) c ) C_ Y )
118117ralrimiva 2966 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> A. z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) C_ Y )
119 iunss 4561 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) C_ Y <-> A. z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) C_ Y )
120118, 119sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) C_ Y )
121 iunin1 4585 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ y e. v ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) = ( U_ y e. v ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y )
122 simplrr 801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
12355cbviunv 4559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) = U_ y e. v ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) )
124122, 123syl6sseq 3651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> Y C_ U_ y e. v ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
125 sseqin2 3817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Y C_ U_ y e. v ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) <-> ( U_ y e. v ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) = Y )
126124, 125sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> ( U_ y e. v ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) = Y )
127121, 126syl5eq 2668 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> U_ y e. v ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) = Y )
128 0ss 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (/) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c )
129 sseq1 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) = (/) -> ( ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) <-> (/) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) ) )
130128, 129mpbiri 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) = (/) -> ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) )
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. v ) -> ( ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) = (/) -> ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) ) )
132 simpr3 1069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) )
13356neeq1d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = y -> ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) <-> ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) ) )
134 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = y -> x = y )
13555imaeq2d 5466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = y -> ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) = ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) )
136134, 135eleq12d 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = y -> ( x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) <-> y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) )
137133, 136imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> ( ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) <-> ( ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) )
138137rspccva 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ y e. v ) -> ( ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) )
139132, 138sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. v ) -> ( ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) )
14015ad5antr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
141 cnvimass 5485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) C_ dom f
14249simplbi 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( v e. ( ~P X i^i Fin ) -> v C_ X )
143142ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> v C_ X )
144143adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> v C_ X )
14599, 144sstrd 3613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> dom f C_ X )
146141, 145syl5ss 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) C_ X )
147146sselda 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> y e. X )
148 simp-4r 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> c e. RR+ )
149148rpred 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> c e. RR )
150 elpreima 6337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( f Fn dom f -> ( y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) <-> ( y e. dom f /\ ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) )
151150simplbda 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( f Fn dom f /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
15297, 151sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) )
153 blhalf 22210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ y e. X ) /\ ( c e. RR /\ ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) C_ ( ( f ` y ) ( ball ` M ) c ) )
154140, 147, 149, 152, 153syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) C_ ( ( f ` y ) ( ball ` M ) c ) )
155 ssrin 3838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) C_ ( ( f ` y ) ( ball ` M ) c ) -> ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ ( ( ( f ` y ) ( ball ` M ) c ) i^i Y ) )
156154, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ ( ( ( f ` y ) ( ball ` M ) c ) i^i Y ) )
157141sseli 3599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) -> y e. dom f )
158 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( f : dom f --> Y /\ y e. dom f ) -> ( f ` y ) e. Y )
15993, 157, 158syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( f ` y ) e. Y )
160 simp-5r 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> Y C_ X )
161160, 22sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( X i^i Y ) = Y )
162159, 161eleqtrrd 2704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( f ` y ) e. ( X i^i Y ) )
163114ad4antlr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> c e. RR* )
1641blres 22236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ ( f ` y ) e. ( X i^i Y ) /\ c e. RR* ) -> ( ( f ` y ) ( ball ` N ) c ) = ( ( ( f ` y ) ( ball ` M ) c ) i^i Y ) )
165140, 162, 163, 164syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( ( f ` y ) ( ball ` N ) c ) = ( ( ( f ` y ) ( ball ` M ) c ) i^i Y ) )
166156, 165sseqtr4d 3642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ ( ( f ` y ) ( ball ` N ) c ) )
167 fnfvelrn 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( f Fn dom f /\ y e. dom f ) -> ( f ` y ) e. ran f )
16897, 157, 167syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( f ` y ) e. ran f )
169 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = ( f ` y ) -> ( z ( ball ` N ) c ) = ( ( f ` y ) ( ball ` N ) c ) )
170169ssiun2s 4564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( f ` y ) e. ran f -> ( ( f ` y ) ( ball ` N ) c ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) )
171168, 170syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( ( f ` y ) ( ball ` N ) c ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) )
172166, 171sstrd 3613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) )
173172adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. v ) /\ y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) )
174173ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. v ) -> ( y e. ( `' f " ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) -> ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) ) )
175139, 174syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. v ) -> ( ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) ) )
176131, 175pm2.61dne 2880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) /\ y e. v ) -> ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) )
177176ralrimiva 2966 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> A. y e. v ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) )
178 iunss 4561 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U_ y e. v ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) <-> A. y e. v ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) )
179177, 178sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> U_ y e. v ( ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) )
180127, 179eqsstr3d 3640 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> Y C_ U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) )
181120, 180eqssd 3620 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> U_ z e. ran f ( z ( ball ` N ) c ) = Y )
182109, 181syl5eq 2668 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> U_ x e. ran f ( x ( ball ` N ) c ) = Y )
183 iuneq1 4534 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ran f -> U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = U_ x e. ran f ( x ( ball ` N ) c ) )
184183eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ran f -> ( U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y <-> U_ x e. ran f ( x ( ball ` N ) c ) = Y ) )
185184rspcev 3309 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ran f e. ( ~P Y i^i Fin ) /\ U_ x e. ran f ( x ( ball ` N ) c ) = Y ) -> E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y )
186107, 182, 185syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) /\ ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) ) -> E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y )
187186ex 450 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( ( dom f C_ v /\ f : dom f --> Y /\ A. x e. v ( ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) -> x e. ( `' f " ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) ) -> E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y ) )
18892, 187syld 47 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) -> E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y ) )
189188exlimdv 1861 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> ( E. f ( f : { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } --> Y /\ A. y e. { x e. v | ( ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) i^i Y ) =/= (/) } ( f ` y ) e. ( y ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) -> E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y ) )
19069, 189mpd 15 . . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) /\ ( v e. ( ~P X i^i Fin ) /\ Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) ) ) -> E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y )
191190rexlimdvaa 3032 . . . . 5 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) -> ( E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) ( c / 2 ) ) -> E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y ) )
19248, 191syld 47 . . . 4 |- ( ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) /\ c e. RR+ ) -> ( A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) -> E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y ) )
193192ralrimdva 2969 . . 3 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) -> A. c e. RR+ E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y ) )
194 istotbnd3 33570 . . . . 5 |- ( N e. ( TotBnd ` Y ) <-> ( N e. ( Met ` Y ) /\ A. c e. RR+ E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y ) )
195194baib 944 . . . 4 |- ( N e. ( Met ` Y ) -> ( N e. ( TotBnd ` Y ) <-> A. c e. RR+ E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y ) )
1963, 195syl 17 . . 3 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( N e. ( TotBnd ` Y ) <-> A. c e. RR+ E. w e. ( ~P Y i^i Fin ) U_ x e. w ( x ( ball ` N ) c ) = Y ) )
197193, 196sylibrd 249 . 2 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) -> N e. ( TotBnd ` Y ) ) )
19840, 197impbid 202 1 |- ( ( M e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( N e. ( TotBnd ` Y ) <-> A. d e. RR+ E. v e. ( ~P X i^i Fin ) Y C_ U_ x e. v ( x ( ball ` M ) d ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U_ciun 4520   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   RR*cxr 10073   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   ballcbl 19733   TotBndctotbnd 33565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-totbnd 33567
This theorem is referenced by:  sstotbnd  33574  sstotbnd3  33575
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