MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsmopn Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem xrsmopn 22615
Description: The metric on the extended reals generates a topology, but this does not match the order topology on RR*; for example { +oo } is open in the metric topology, but not the order topology. However, the metric topology is finer than the order topology, meaning that all open intervals are open in the metric topology. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrsxmet.1 |- D = ( dist ` RR*s )
xrsmopn.1 |- J = ( MetOpen ` D )
Assertion
Ref Expression
xrsmopn |- (ordTop ` <_ ) C_ J
Proof of Theorem xrsmopn
Dummy variables x r y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elssuni 4467 . . . 4 |- ( x e. (ordTop ` <_ ) -> x C_ U. (ordTop ` <_ ) )
2 letopuni 21011 . . . 4 |- RR* = U. (ordTop ` <_ )
31, 2syl6sseqr 3652 . . 3 |- ( x e. (ordTop ` <_ ) -> x C_ RR* )
4 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
54rexmet 22594 . . . . . . . 8 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR )
65a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) -> ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR ) )
7 letop 21010 . . . . . . . . 9 |- (ordTop ` <_ ) e. Top
8 reex 10027 . . . . . . . . 9 |- RR e. _V
9 elrestr 16089 . . . . . . . . 9 |- ( ( (ordTop ` <_ ) e. Top /\ RR e. _V /\ x e. (ordTop ` <_ ) ) -> ( x i^i RR ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) )
107, 8, 9mp3an12 1414 . . . . . . . 8 |- ( x e. (ordTop ` <_ ) -> ( x i^i RR ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) )
1110ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) -> ( x i^i RR ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) )
12 elin 3796 . . . . . . . . 9 |- ( y e. ( x i^i RR ) <-> ( y e. x /\ y e. RR ) )
1312biimpri 218 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. x /\ y e. RR ) -> y e. ( x i^i RR ) )
1413adantll 750 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) -> y e. ( x i^i RR ) )
15 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) = ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR )
1615xrtgioo 22609 . . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR )
17 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
184, 17tgioo 22599 . . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
1916, 18eqtr3i 2646 . . . . . . . 8 |- ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) )
2019mopni2 22298 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) e. ( *Met ` RR ) /\ ( x i^i RR ) e. ( (ordTop ` <_ ) ↾t RR ) /\ y e. ( x i^i RR ) ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( x i^i RR ) )
216, 11, 14, 20syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( x i^i RR ) )
22 xrsxmet.1 . . . . . . . . . . . . 13 |- D = ( dist ` RR*s )
2322xrsxmet 22612 . . . . . . . . . . . 12 |- D e. ( *Met ` RR* )
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> D e. ( *Met ` RR* ) )
25 simplr 792 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> y e. RR )
26 ressxr 10083 . . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ RR*
27 sseqin2 3817 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( RR C_ RR* <-> ( RR* i^i RR ) = RR )
2826, 27mpbi 220 . . . . . . . . . . . 12 |- ( RR* i^i RR ) = RR
2925, 28syl6eleqr 2712 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> y e. ( RR* i^i RR ) )
30 rpxr 11840 . . . . . . . . . . . 12 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
3130adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> r e. RR* )
3222xrsdsre 22613 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( D |` ( RR X. RR ) ) = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
3332eqcomi 2631 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) = ( D |` ( RR X. RR ) )
3433blres 22236 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` RR* ) /\ y e. ( RR* i^i RR ) /\ r e. RR* ) -> ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) = ( ( y ( ball ` D ) r ) i^i RR ) )
3524, 29, 31, 34syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) = ( ( y ( ball ` D ) r ) i^i RR ) )
3622xrsblre 22614 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. RR /\ r e. RR* ) -> ( y ( ball ` D ) r ) C_ RR )
3730, 36sylan2 491 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR /\ r e. RR+ ) -> ( y ( ball ` D ) r ) C_ RR )
3837adantll 750 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> ( y ( ball ` D ) r ) C_ RR )
39 df-ss 3588 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y ( ball ` D ) r ) C_ RR <-> ( ( y ( ball ` D ) r ) i^i RR ) = ( y ( ball ` D ) r ) )
4038, 39sylib 208 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( y ( ball ` D ) r ) i^i RR ) = ( y ( ball ` D ) r ) )
4135, 40eqtrd 2656 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) = ( y ( ball ` D ) r ) )
4241sseq1d 3632 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( x i^i RR ) <-> ( y ( ball ` D ) r ) C_ ( x i^i RR ) ) )
43 inss1 3833 . . . . . . . . 9 |- ( x i^i RR ) C_ x
44 sstr 3611 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y ( ball ` D ) r ) C_ ( x i^i RR ) /\ ( x i^i RR ) C_ x ) -> ( y ( ball ` D ) r ) C_ x )
4543, 44mpan2 707 . . . . . . . 8 |- ( ( y ( ball ` D ) r ) C_ ( x i^i RR ) -> ( y ( ball ` D ) r ) C_ x )
4642, 45syl6bi 243 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( x i^i RR ) -> ( y ( ball ` D ) r ) C_ x ) )
4746reximdva 3017 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) -> ( E. r e. RR+ ( y ( ball ` ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) ) ) r ) C_ ( x i^i RR ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x ) )
4821, 47mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ y e. RR ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x )
49 1rp 11836 . . . . . 6 |- 1 e. RR+
5023a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> D e. ( *Met ` RR* ) )
513sselda 3603 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) -> y e. RR* )
5251adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> y e. RR* )
53 rpxr 11840 . . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. RR+ -> 1 e. RR* )
5449, 53mp1i 13 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> 1 e. RR* )
55 elbl 22193 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` RR* ) /\ y e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( z e. ( y ( ball ` D ) 1 ) <-> ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) )
5650, 52, 54, 55syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> ( z e. ( y ( ball ` D ) 1 ) <-> ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) )
57 simp2 1062 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> -. y e. RR )
5823a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> D e. ( *Met ` RR* ) )
59513ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> y e. RR* )
6059adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> y e. RR* )
61 simpl3l 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> z e. RR* )
62 xmetcl 22136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( D e. ( *Met ` RR* ) /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) -> ( y D z ) e. RR* )
6358, 60, 61, 62syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> ( y D z ) e. RR* )
64 1red 10055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> 1 e. RR )
65 xmetge0 22149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( D e. ( *Met ` RR* ) /\ y e. RR* /\ z e. RR* ) -> 0 <_ ( y D z ) )
6658, 60, 61, 65syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> 0 <_ ( y D z ) )
67 simpl3r 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> ( y D z ) < 1 )
6849, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR*
69 xrltle 11982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y D z ) e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( ( y D z ) < 1 -> ( y D z ) <_ 1 ) )
7063, 68, 69sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> ( ( y D z ) < 1 -> ( y D z ) <_ 1 ) )
7167, 70mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> ( y D z ) <_ 1 )
72 xrrege0 12005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( y D z ) e. RR* /\ 1 e. RR ) /\ ( 0 <_ ( y D z ) /\ ( y D z ) <_ 1 ) ) -> ( y D z ) e. RR )
7363, 64, 66, 71, 72syl22anc 1327 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> ( y D z ) e. RR )
74 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> y =/= z )
7522xrsdsreclb 19793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR* /\ z e. RR* /\ y =/= z ) -> ( ( y D z ) e. RR <-> ( y e. RR /\ z e. RR ) ) )
7660, 61, 74, 75syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> ( ( y D z ) e. RR <-> ( y e. RR /\ z e. RR ) ) )
7773, 76mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> ( y e. RR /\ z e. RR ) )
7877simpld 475 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) /\ y =/= z ) -> y e. RR )
7978ex 450 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> ( y =/= z -> y e. RR ) )
8079necon1bd 2812 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> ( -. y e. RR -> y = z ) )
81 simp1r 1086 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> y e. x )
82 elequ1 1997 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( y e. x <-> z e. x ) )
8381, 82syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> ( y = z -> z e. x ) )
8480, 83syld 47 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> ( -. y e. RR -> z e. x ) )
8557, 84mpd 15 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR /\ ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) ) -> z e. x )
86853expia 1267 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> ( ( z e. RR* /\ ( y D z ) < 1 ) -> z e. x ) )
8756, 86sylbid 230 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> ( z e. ( y ( ball ` D ) 1 ) -> z e. x ) )
8887ssrdv 3609 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> ( y ( ball ` D ) 1 ) C_ x )
89 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( r = 1 -> ( y ( ball ` D ) r ) = ( y ( ball ` D ) 1 ) )
9089sseq1d 3632 . . . . . . 7 |- ( r = 1 -> ( ( y ( ball ` D ) r ) C_ x <-> ( y ( ball ` D ) 1 ) C_ x ) )
9190rspcev 3309 . . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( y ( ball ` D ) 1 ) C_ x ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x )
9249, 88, 91sylancr 695 . . . . 5 |- ( ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) /\ -. y e. RR ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x )
9348, 92pm2.61dan 832 . . . 4 |- ( ( x e. (ordTop ` <_ ) /\ y e. x ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x )
9493ralrimiva 2966 . . 3 |- ( x e. (ordTop ` <_ ) -> A. y e. x E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x )
95 xrsmopn.1 . . . . 5 |- J = ( MetOpen ` D )
9695elmopn2 22250 . . . 4 |- ( D e. ( *Met ` RR* ) -> ( x e. J <-> ( x C_ RR* /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x ) ) )
9723, 96ax-mp 5 . . 3 |- ( x e. J <-> ( x C_ RR* /\ A. y e. x E. r e. RR+ ( y ( ball ` D ) r ) C_ x ) )
983, 94, 97sylanbrc 698 . 2 |- ( x e. (ordTop ` <_ ) -> x e. J )
9998ssriv 3607 1 |- (ordTop ` <_ ) C_ J
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   abscabs 13974   distcds 15950   ↾t crest 16081   topGenctg 16098  ordTopcordt 16159   RR*scxrs 16160   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733   MetOpencmopn 19736   Topctop 20698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750
This theorem is referenced by:  xmetdcn  22641
  Copyright terms: Public domain W3C validator