Theorem bnd2d 42428

Description: Deduction form of bnd2 8756. (Contributed by Emmett Weisz, 19-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnd2d.1	|- ( ph -> A e. _V )
bnd2d.2	|- ( ph -> A. x e. A E. y e. B ps )

Assertion

Ref	Expression
bnd2d	|- ( ph -> E. z ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ps ) )

Distinct variable groups:   ps, z   x, z, A   x, y, B, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   ps( x, y)   A( y)

Proof of Theorem bnd2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnd2d.1	. 2 |- ( ph -> A e. _V )
2		bnd2d.2	. 2 |- ( ph -> A. x e. A E. y e. B ps )
3		raleq 3138	. . . 4 |- ( A = if ( A e. _V , A , (/) ) -> ( A. x e. A E. y e. B ps <-> A. x e. if ( A e. _V , A , (/) ) E. y e. B ps ) )
4		raleq 3138	. . . . . 6 |- ( A = if ( A e. _V , A , (/) ) -> ( A. x e. A E. y e. z ps <-> A. x e. if ( A e. _V , A , (/) ) E. y e. z ps ) )
5	4	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( A = if ( A e. _V , A , (/) ) -> ( ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ps ) <-> ( z C_ B /\ A. x e. if ( A e. _V , A , (/) ) E. y e. z ps ) ) )
6	5	exbidv 1850	. . . 4 |- ( A = if ( A e. _V , A , (/) ) -> ( E. z ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ps ) <-> E. z ( z C_ B /\ A. x e. if ( A e. _V , A , (/) ) E. y e. z ps ) ) )
7	3, 6	imbi12d 334	. . 3 |- ( A = if ( A e. _V , A , (/) ) -> ( ( A. x e. A E. y e. B ps -> E. z ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ps ) ) <-> ( A. x e. if ( A e. _V , A , (/) ) E. y e. B ps -> E. z ( z C_ B /\ A. x e. if ( A e. _V , A , (/) ) E. y e. z ps ) ) ) )
8		0ex 4790	. . . . 5 |- (/) e. _V
9	8	elimel 4150	. . . 4 |- if ( A e. _V , A , (/) ) e. _V
10	9	bnd2 8756	. . 3 |- ( A. x e. if ( A e. _V , A , (/) ) E. y e. B ps -> E. z ( z C_ B /\ A. x e. if ( A e. _V , A , (/) ) E. y e. z ps ) )
11	7, 10	dedth 4139	. 2 |- ( A e. _V -> ( A. x e. A E. y e. B ps -> E. z ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ps ) ) )
12	1, 2, 11	sylc 65	1 |- ( ph -> E. z ( z C_ B /\ A. x e. A E. y e. z ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-r1 8627  df-rank 8628

This theorem is referenced by:  setrec1lem3  42436