Theorem bnj1417 31109

Description: Technical lemma for bnj60 31130. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1417.1	|- ( ph <-> R FrSe A )
bnj1417.2	|- ( ps <-> -. x e. trCl ( x , A , R ) )
bnj1417.3	|- ( ch <-> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
bnj1417.4	|- ( th <-> ( ph /\ x e. A /\ ch ) )
bnj1417.5	|- B = ( pred ( x , A , R ) u. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) )

Assertion

Ref	Expression
bnj1417	|- ( ph -> A. x e. A -. x e. trCl ( x , A , R ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, R, y   ph, x, y   ps, y

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( x, y)   th( x, y)   B( x, y)

Proof of Theorem bnj1417

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1417.1	. . . 4 |- ( ph <-> R FrSe A )
2	1	biimpi 206	. . 3 |- ( ph -> R FrSe A )
3		bnj1417.4	. . . . . 6 |- ( th <-> ( ph /\ x e. A /\ ch ) )
4		bnj1418 31108	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. pred ( x , A , R ) -> x R x )
5	4	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( th /\ x e. pred ( x , A , R ) ) -> x R x )
6	3, 2	bnj835 30829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( th -> R FrSe A )
7		df-bnj15 30759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R FrSe A <-> ( R Fr A /\ R Se A ) )
8	7	simplbi 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R FrSe A -> R Fr A )
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> R Fr A )
10		bnj213 30952	. . . . . . . . . . . 12 |- pred ( x , A , R ) C_ A
11	10	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. pred ( x , A , R ) -> x e. A )
12		frirr 5091	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R Fr A /\ x e. A ) -> -. x R x )
13	9, 11, 12	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( th /\ x e. pred ( x , A , R ) ) -> -. x R x )
14	5, 13	pm2.65da 600	. . . . . . . . 9 |- ( th -> -. x e. pred ( x , A , R ) )
15		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y ph
16		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y x e. A
17		bnj1417.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch <-> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
18	17	bnj1095 30852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> A. y ch )
19	18	nf5i 2024	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y ch
20	15, 16, 19	nf3an 1831	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ( ph /\ x e. A /\ ch )
21	3, 20	nfxfr 1779	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y th
22	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> R FrSe A )
23		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y e. pred ( x , A , R ) )
24	10, 23	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y e. A )
25		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> x e. trCl ( y , A , R ) )
26		bnj1125 31060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R FrSe A /\ y e. A /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> trCl ( x , A , R ) C_ trCl ( y , A , R ) )
27	22, 24, 25, 26	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> trCl ( x , A , R ) C_ trCl ( y , A , R ) )
28		bnj1147 31062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- trCl ( y , A , R ) C_ A
29	28, 25	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> x e. A )
30		bnj906 31000	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R FrSe A /\ x e. A ) -> pred ( x , A , R ) C_ trCl ( x , A , R ) )
31	22, 29, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> pred ( x , A , R ) C_ trCl ( x , A , R ) )
32	31, 23	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y e. trCl ( x , A , R ) )
33	27, 32	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y e. trCl ( y , A , R ) )
34	17	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
35	3, 34	bnj837 30831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( th -> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
36	35	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
37		bnj1418 31108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. pred ( x , A , R ) -> y R x )
38	37	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y R x )
39		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) -> ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ps ) ) )
40	36, 24, 38, 39	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> [. y / x ]. ps )
41		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
42		bnj1417.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ps <-> -. x e. trCl ( x , A , R ) )
43		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( x e. trCl ( x , A , R ) <-> y e. trCl ( x , A , R ) ) )
44		bnj1318 31093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> trCl ( x , A , R ) = trCl ( y , A , R ) )
45	44	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( y e. trCl ( x , A , R ) <-> y e. trCl ( y , A , R ) ) )
46	43, 45	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( x e. trCl ( x , A , R ) <-> y e. trCl ( y , A , R ) ) )
47	46	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( -. x e. trCl ( x , A , R ) <-> -. y e. trCl ( y , A , R ) ) )
48	42, 47	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( ps <-> -. y e. trCl ( y , A , R ) ) )
49	41, 48	sbcie 3470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. y / x ]. ps <-> -. y e. trCl ( y , A , R ) )
50	40, 49	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> -. y e. trCl ( y , A , R ) )
51	33, 50	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> -. x e. trCl ( y , A , R ) )
52	51	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( th -> ( y e. pred ( x , A , R ) -> -. x e. trCl ( y , A , R ) ) )
53	21, 52	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> A. y e. pred ( x , A , R ) -. x e. trCl ( y , A , R ) )
54		ralnex 2992	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. pred ( x , A , R ) -. x e. trCl ( y , A , R ) <-> -. E. y e. pred ( x , A , R ) x e. trCl ( y , A , R ) )
55	53, 54	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( th -> -. E. y e. pred ( x , A , R ) x e. trCl ( y , A , R ) )
56		eliun 4524	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) <-> E. y e. pred ( x , A , R ) x e. trCl ( y , A , R ) )
57	55, 56	sylnibr 319	. . . . . . . . 9 |- ( th -> -. x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) )
58		ioran 511	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( x e. pred ( x , A , R ) \/ x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) <-> ( -. x e. pred ( x , A , R ) /\ -. x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) )
59	14, 57, 58	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( th -> -. ( x e. pred ( x , A , R ) \/ x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) )
60	3	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> x e. A )
61		bnj1417.5	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( pred ( x , A , R ) u. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) )
62	61	bnj1414 31105	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R FrSe A /\ x e. A ) -> trCl ( x , A , R ) = B )
63	6, 60, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( th -> trCl ( x , A , R ) = B )
64	63	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( th -> ( x e. trCl ( x , A , R ) <-> x e. B ) )
65	61	bnj1138 30859	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B <-> ( x e. pred ( x , A , R ) \/ x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) )
66	64, 65	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( th -> ( x e. trCl ( x , A , R ) <-> ( x e. pred ( x , A , R ) \/ x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) ) )
67	59, 66	mtbird 315	. . . . . . 7 |- ( th -> -. x e. trCl ( x , A , R ) )
68	67, 42	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( th -> ps )
69	3, 68	sylbir 225	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A /\ ch ) -> ps )
70	69	3exp 1264	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A -> ( ch -> ps ) ) )
71	70	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( ph -> A. x e. A ( ch -> ps ) )
72	17	bnj1204 31080	. . 3 |- ( ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ch -> ps ) ) -> A. x e. A ps )
73	2, 71, 72	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> A. x e. A ps )
74	42	ralbii 2980	. 2 |- ( A. x e. A ps <-> A. x e. A -. x e. trCl ( x , A , R ) )
75	73, 74	sylib 208	1 |- ( ph -> A. x e. A -. x e. trCl ( x , A , R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   [.wsbc 3435   u. cun 3572   C_ wss 3574   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   Fr wfr 5070   predc-bnj14 30754   Se w-bnj13 30756   FrSe w-bnj15 30758   trClc-bnj18 30760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-bnj17 30753  df-bnj14 30755  df-bnj13 30757  df-bnj15 30759  df-bnj18 30761  df-bnj19 30763

This theorem is referenced by:  bnj1421  31110