Theorem bnj1204 31080

Description: Well-founded induction. The proof has been taken from Chapter 4 of Don Monk's notes on Set Theory. See http://euclid.colorado.edu/~monkd/setth.pdf. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
bnj1204.1	|- ( ps <-> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ph ) )

Assertion

Ref	Expression
bnj1204	|- ( ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) -> A. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, R, y   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y)

Proof of Theorem bnj1204

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) /\ E. x e. A -. ph ) -> R FrSe A )
2		ssrab2 3687	. . . . . . 7 |- { x e. A | -. ph } C_ A
3	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) /\ E. x e. A -. ph ) -> { x e. A | -. ph } C_ A )
4		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) /\ E. x e. A -. ph ) -> E. x e. A -. ph )
5		rabn0 3958	. . . . . . 7 |- ( { x e. A | -. ph } =/= (/) <-> E. x e. A -. ph )
6	4, 5	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) /\ E. x e. A -. ph ) -> { x e. A | -. ph } =/= (/) )
7		nfrab1 3122	. . . . . . . 8 |- F/_ x { x e. A | -. ph }
8	7	nfcrii 2757	. . . . . . 7 |- ( z e. { x e. A | -. ph } -> A. x z e. { x e. A | -. ph } )
9	8	bnj1228 31079	. . . . . 6 |- ( ( R FrSe A /\ { x e. A | -. ph } C_ A /\ { x e. A | -. ph } =/= (/) ) -> E. x e. { x e. A | -. ph } A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x )
10	1, 3, 6, 9	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) /\ E. x e. A -. ph ) -> E. x e. { x e. A | -. ph } A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x )
11		biid 251	. . . . 5 |- ( ( ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) /\ E. x e. A -. ph ) /\ x e. { x e. A | -. ph } /\ A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x ) <-> ( ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) /\ E. x e. A -. ph ) /\ x e. { x e. A | -. ph } /\ A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x ) )
12		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ x R FrSe A
13		nfra1 2941	. . . . . . 7 |- F/ x A. x e. A ( ps -> ph )
14		nfre1 3005	. . . . . . 7 |- F/ x E. x e. A -. ph
15	12, 13, 14	nf3an 1831	. . . . . 6 |- F/ x ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) /\ E. x e. A -. ph )
16	15	nf5ri 2065	. . . . 5 |- ( ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) /\ E. x e. A -. ph ) -> A. x ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) /\ E. x e. A -. ph ) )
17	10, 11, 16	bnj1521 30921	. . . 4 |- ( ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) /\ E. x e. A -. ph ) -> E. x ( ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) /\ E. x e. A -. ph ) /\ x e. { x e. A | -. ph } /\ A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x ) )
18		eqid 2622	. . . . . 6 |- { x e. A | -. ph } = { x e. A | -. ph }
19	18, 11	bnj1212 30870	. . . . 5 |- ( ( ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) /\ E. x e. A -. ph ) /\ x e. { x e. A | -. ph } /\ A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x ) -> x e. A )
20		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ y A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x
21		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. A /\ y R x /\ A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x ) -> A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x )
22	21	bnj1211 30868	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. A /\ y R x /\ A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x ) -> A. y ( y e. { x e. A | -. ph } -> -. y R x ) )
23		con2b 349	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. { x e. A | -. ph } -> -. y R x ) <-> ( y R x -> -. y e. { x e. A | -. ph } ) )
24	23	albii 1747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y ( y e. { x e. A | -. ph } -> -. y R x ) <-> A. y ( y R x -> -. y e. { x e. A | -. ph } ) )
25	22, 24	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. A /\ y R x /\ A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x ) -> A. y ( y R x -> -. y e. { x e. A | -. ph } ) )
26		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. A /\ y R x /\ A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x ) -> y R x )
27		sp 2053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y ( y R x -> -. y e. { x e. A | -. ph } ) -> ( y R x -> -. y e. { x e. A | -. ph } ) )
28	25, 26, 27	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. A /\ y R x /\ A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x ) -> -. y e. { x e. A | -. ph } )
29		simp1 1061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. A /\ y R x /\ A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x ) -> y e. A )
30		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x A
31	30	elrabsf 3474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. { x e. A | -. ph } <-> ( y e. A /\ [. y / x ]. -. ph ) )
32		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- y e. _V
33		sbcng 3476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. _V -> ( [. y / x ]. -. ph <-> -. [. y / x ]. ph ) )
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( [. y / x ]. -. ph <-> -. [. y / x ]. ph )
35	34	anbi2i 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. A /\ [. y / x ]. -. ph ) <-> ( y e. A /\ -. [. y / x ]. ph ) )
36	31, 35	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. { x e. A | -. ph } <-> ( y e. A /\ -. [. y / x ]. ph ) )
37	36	notbii 310	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. y e. { x e. A | -. ph } <-> -. ( y e. A /\ -. [. y / x ]. ph ) )
38		imnan 438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. A -> -. -. [. y / x ]. ph ) <-> -. ( y e. A /\ -. [. y / x ]. ph ) )
39	37, 38	sylbb2 228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. y e. { x e. A | -. ph } -> ( y e. A -> -. -. [. y / x ]. ph ) )
40	39	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. y e. { x e. A | -. ph } /\ y e. A ) -> -. -. [. y / x ]. ph )
41	40	notnotrd 128	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. y e. { x e. A | -. ph } /\ y e. A ) -> [. y / x ]. ph )
42	28, 29, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. A /\ y R x /\ A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x ) -> [. y / x ]. ph )
43	42	3expa 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. A /\ y R x ) /\ A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x ) -> [. y / x ]. ph )
44	43	expcom 451	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x -> ( ( y e. A /\ y R x ) -> [. y / x ]. ph ) )
45	44	expd 452	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x -> ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) )
46	20, 45	ralrimi 2957	. . . . . . 7 |- ( A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x -> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ph ) )
47		bnj1204.1	. . . . . . 7 |- ( ps <-> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ph ) )
48	46, 47	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x -> ps )
49	48	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) /\ E. x e. A -. ph ) /\ x e. { x e. A | -. ph } /\ A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x ) -> ps )
50		simp12 1092	. . . . 5 |- ( ( ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) /\ E. x e. A -. ph ) /\ x e. { x e. A | -. ph } /\ A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x ) -> A. x e. A ( ps -> ph ) )
51		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ ps /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) -> A. x e. A ( ps -> ph ) )
52	51	bnj1211 30868	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ ps /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) -> A. x ( x e. A -> ( ps -> ph ) ) )
53		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ ps /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) -> x e. A )
54		simp2 1062	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ ps /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) -> ps )
55		sp 2053	. . . . . 6 |- ( A. x ( x e. A -> ( ps -> ph ) ) -> ( x e. A -> ( ps -> ph ) ) )
56	52, 53, 54, 55	syl3c 66	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ ps /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) -> ph )
57	19, 49, 50, 56	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) /\ E. x e. A -. ph ) /\ x e. { x e. A | -. ph } /\ A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x ) -> ph )
58		rabid 3116	. . . . . 6 |- ( x e. { x e. A | -. ph } <-> ( x e. A /\ -. ph ) )
59	58	simprbi 480	. . . . 5 |- ( x e. { x e. A | -. ph } -> -. ph )
60	59	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) /\ E. x e. A -. ph ) /\ x e. { x e. A | -. ph } /\ A. y e. { x e. A | -. ph } -. y R x ) -> -. ph )
61	17, 57, 60	bnj1304 30890	. . 3 |- -. ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) /\ E. x e. A -. ph )
62	61	bnj1224 30872	. 2 |- ( ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) -> -. E. x e. A -. ph )
63		dfral2 2994	. 2 |- ( A. x e. A ph <-> -. E. x e. A -. ph )
64	62, 63	sylibr 224	1 |- ( ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) -> A. x e. A ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   FrSe w-bnj15 30758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-bnj17 30753  df-bnj14 30755  df-bnj13 30757  df-bnj15 30759  df-bnj18 30761  df-bnj19 30763

This theorem is referenced by:  bnj1417  31109