Theorem cdainflem 9013

Description: Any partition of omega into two pieces (which may be disjoint) contains an infinite subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cdainflem	|- ( ( A u. B ) ~~ om -> ( A ~~ om \/ B ~~ om ) )

Proof of Theorem cdainflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi2 8229	. . . 4 |- ( ( A ~< om /\ B ~< om ) -> ( A u. B ) ~< om )
2		sdomnen 7984	. . . 4 |- ( ( A u. B ) ~< om -> -. ( A u. B ) ~~ om )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( ( A ~< om /\ B ~< om ) -> -. ( A u. B ) ~~ om )
4	3	con2i 134	. 2 |- ( ( A u. B ) ~~ om -> -. ( A ~< om /\ B ~< om ) )
5		ianor 509	. . 3 |- ( -. ( A ~< om /\ B ~< om ) <-> ( -. A ~< om \/ -. B ~< om ) )
6		relen 7960	. . . . . . . . . 10 |- Rel ~~
7	6	brrelexi 5158	. . . . . . . . 9 |- ( ( A u. B ) ~~ om -> ( A u. B ) e. _V )
8		ssun1 3776	. . . . . . . . 9 |- A C_ ( A u. B )
9		ssdomg 8001	. . . . . . . . 9 |- ( ( A u. B ) e. _V -> ( A C_ ( A u. B ) -> A ~<_ ( A u. B ) ) )
10	7, 8, 9	mpisyl 21	. . . . . . . 8 |- ( ( A u. B ) ~~ om -> A ~<_ ( A u. B ) )
11		domentr 8015	. . . . . . . 8 |- ( ( A ~<_ ( A u. B ) /\ ( A u. B ) ~~ om ) -> A ~<_ om )
12	10, 11	mpancom 703	. . . . . . 7 |- ( ( A u. B ) ~~ om -> A ~<_ om )
13	12	anim1i 592	. . . . . 6 |- ( ( ( A u. B ) ~~ om /\ -. A ~< om ) -> ( A ~<_ om /\ -. A ~< om ) )
14		bren2 7986	. . . . . 6 |- ( A ~~ om <-> ( A ~<_ om /\ -. A ~< om ) )
15	13, 14	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( A u. B ) ~~ om /\ -. A ~< om ) -> A ~~ om )
16	15	ex 450	. . . 4 |- ( ( A u. B ) ~~ om -> ( -. A ~< om -> A ~~ om ) )
17		ssun2 3777	. . . . . . . . 9 |- B C_ ( A u. B )
18		ssdomg 8001	. . . . . . . . 9 |- ( ( A u. B ) e. _V -> ( B C_ ( A u. B ) -> B ~<_ ( A u. B ) ) )
19	7, 17, 18	mpisyl 21	. . . . . . . 8 |- ( ( A u. B ) ~~ om -> B ~<_ ( A u. B ) )
20		domentr 8015	. . . . . . . 8 |- ( ( B ~<_ ( A u. B ) /\ ( A u. B ) ~~ om ) -> B ~<_ om )
21	19, 20	mpancom 703	. . . . . . 7 |- ( ( A u. B ) ~~ om -> B ~<_ om )
22	21	anim1i 592	. . . . . 6 |- ( ( ( A u. B ) ~~ om /\ -. B ~< om ) -> ( B ~<_ om /\ -. B ~< om ) )
23		bren2 7986	. . . . . 6 |- ( B ~~ om <-> ( B ~<_ om /\ -. B ~< om ) )
24	22, 23	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( A u. B ) ~~ om /\ -. B ~< om ) -> B ~~ om )
25	24	ex 450	. . . 4 |- ( ( A u. B ) ~~ om -> ( -. B ~< om -> B ~~ om ) )
26	16, 25	orim12d 883	. . 3 |- ( ( A u. B ) ~~ om -> ( ( -. A ~< om \/ -. B ~< om ) -> ( A ~~ om \/ B ~~ om ) ) )
27	5, 26	syl5bi 232	. 2 |- ( ( A u. B ) ~~ om -> ( -. ( A ~< om /\ B ~< om ) -> ( A ~~ om \/ B ~~ om ) ) )
28	4, 27	mpd 15	1 |- ( ( A u. B ) ~~ om -> ( A ~~ om \/ B ~~ om ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  cdainf  9014