Theorem domentr 8015

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	|- ( ( A ~<_ B /\ B ~~ C ) -> A ~<_ C )

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 7982	. 2 |- ( B ~~ C -> B ~<_ C )
2		domtr 8009	. 2 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )
3	1, 2	sylan2 491	1 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~~ C ) -> A ~<_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   class class class wbr 4653   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-f1o 5895  df-en 7956  df-dom 7957

This theorem is referenced by:  domdifsn  8043  xpdom1g  8057  domunsncan  8060  sdomdomtr  8093  domen2  8103  mapdom2  8131  php  8144  unxpdom2  8168  sucxpdom  8169  xpfir  8182  fodomfi  8239  cardsdomelir  8799  infxpenlem  8836  xpct  8839  infpwfien  8885  inffien  8886  mappwen  8935  iunfictbso  8937  cdaxpdom  9011  cdainflem  9013  cdainf  9014  cdalepw  9018  ficardun2  9025  unctb  9027  infcdaabs  9028  infunabs  9029  infcda  9030  infdif  9031  infxpdom  9033  pwcdadom  9038  infmap2  9040  fictb  9067  cfslb  9088  fin1a2lem11  9232  fnct  9359  unirnfdomd  9389  iunctb  9396  alephreg  9404  cfpwsdom  9406  gchdomtri  9451  canthp1lem1  9474  pwfseqlem5  9485  pwxpndom  9488  gchcdaidm  9490  gchxpidm  9491  gchpwdom  9492  gchhar  9501  inttsk  9596  inar1  9597  tskcard  9603  znnen  14941  qnnen  14942  rpnnen  14956  rexpen  14957  aleph1irr  14975  cygctb  18293  1stcfb  21248  2ndcredom  21253  2ndcctbss  21258  hauspwdom  21304  tx1stc  21453  tx2ndc  21454  met1stc  22326  met2ndci  22327  re2ndc  22604  opnreen  22634  ovolctb2  23260  ovolfi  23262  uniiccdif  23346  dyadmbl  23368  opnmblALT  23371  vitali  23382  mbfimaopnlem  23422  mbfsup  23431  aannenlem3  24085  dmvlsiga  30192  sigapildsys  30225  omssubadd  30362  carsgclctunlem3  30382  finminlem  32312  phpreu  33393  lindsdom  33403  mblfinlem1  33446  pellexlem4  37396  pellexlem5  37397  nnfoctb  39213  ioonct  39764  subsaliuncl  40576  caragenunicl  40738  aacllem  42547